2019_2020学年高中数学第3章导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值（二）学案新人教B版

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1、3.3.2　利用导数研究函数的极值(二)学习目标核心素养1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．(重点、难点)通过学习利用导数在闭区间上求函数的最值，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值(1)取得最值的条件：在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线．(2)结论：函数y＝f(x)必有最大值和最小值，若函数在(a，b)上是可导的，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极

2、值点．(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．思考：函数在闭区间上的极大值就是最大值吗？极小值就是最小值吗？[提示]　不一定．函数在闭区间上的极大值不一定是最大值，还要与端点处的函数值比较，最大的即是最大值，同理，闭区间上的极小值也不一定是最小值．1．如图所示，函数f(x)的导函数的图象是一条直线，则(　　)A．函数f(x)没有最大值也没有最小值B．函数f(x)有最大值，没有最小值C．函数f(x)没有最大值，有最小值D．函数f(x)有最大值也有最小值C　[由函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点，且函数在此处取

3、得最小值，没有最大值．]2．函数y＝x－sinx，x∈的最大值是(　　)A．π－1　B．－1　　C．π　　D．π＋1C　[在上y′＝1－cosx≥0，∴y＝x－sinx为增函数，∴当x＝π时，ymax＝π.]3．函数y＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为(　　)A．　　　　　　　B．C．D．A　[y′＝1－3x2＝0，∴x＝±.当0＜x＜时，y′＞0；当＜x＜1时，y′＜0.所以当x＝时，y极大值＝；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0.所以当x＝时，ymax＝.]4．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.－　[y

4、′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，所以函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a>－1，则最大为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－.若a≤－1，则最大为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.]求函数的最值【例1】　求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]．[思路探究]　→→→→→[解]　(1)f(x)＝2x3－12x，f′(x)＝6x2－12＝6(x2－2)，令f′(x)＝0，∴x2－2＝0，∴x1＝－，x2＝.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：x

5、－1(－1，)(，3)3f′(x)－0＋f(x)10↘－8↗18因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8，所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；当x＝3时，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x02πf′(x)＋0－0＋f(x)0↗＋↘π－↗π∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.求函数在闭区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研

6、究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论.1．求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．[解]　(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表x－2(－2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x＝4时，f(x)取最大值35.当x＝－2时，f(x)取最小值－3

7、7.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.含参数的函数最值问题[探究问题]1．在闭区间上函数的图象连续不断是函数有最值的充要条件吗？[提示]　闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有惟一的极值，则此极值必是函数的最值．2．函数最值与极值有何区别与联系？[提示]　(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和

8、最小值是一