2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程学案新人教B版

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1、2.2.1　双曲线及其标准方程学习目标核心素养1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过对双曲线定义的学习及标准方程的推导，培养学生的逻辑推理素养.2.借助待定系数法求双曲线的标准方程，提升学生的数学运算素养.1．双曲线的定义2．双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系式c2＝a2＋b2思考1：双

2、曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？[提示]　双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．思考2：如何确定双曲线标准方程的类型？[提示]　焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．1．若点M在双曲线－＝1上，双曲线的焦点为F1，F2，且

3、MF1

4、

5、＝3

6、MF2

7、，则

8、MF2

9、等于(　　)A．2　　　B．4　　　　C．8　　D．12B　[双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8，由双曲线定义知

10、

11、MF1

12、－

13、MF2

14、

15、＝8，又

16、MF1

17、＝3

18、MF2

19、，所以3

20、MF2

21、－

22、MF2

23、＝8，解得

24、MF2

25、＝4.]2．双曲线－＝1的焦距为(　　)A．3　　B．4　　　C．3　D．4D　[解a2＝10，b2＝2，c2＝a2＋b2＝12，c＝2，2c＝4，故选D.]3．已知双曲线中的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．－＝1或－＝1　[b2＝c2－a2＝49－25＝24，∴双曲线方程为－＝1或－＝1.]双曲线定义的应

26、用[探究问题]1．如何理解双曲线定义中的“大于零且小于

27、F1F2

28、”？[提示]①若将“小于

29、F1F2

30、”改为“等于

31、F1F2

32、”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于

33、F1F2

34、改为“大于

35、F1F2

36、”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；③若常数为零，其余条件不变，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．2．若

37、MF1

38、－

39、MF2

40、＝

41、F1F2

42、，则动点M的轨迹是什么？[提示](1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左、右焦点，①若

43、MF1

44、－

45、MF2

46、＝2a，则点M在右支上；②若

47、MF2

48、－

49、MF1

50、

51、＝2a，则点M在左支上．(2)双曲线定义的双向运用：①若

52、

53、MF1

54、－

55、MF2

56、

57、＝2a(0<2a<

58、F1F2

59、)，则动点M的轨迹为双曲线；②若动点M在双曲线上，则

60、

61、MF1

62、－

63、MF2

64、

65、＝2a.【例1】　已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，若P是双曲线左支上的点，且

66、PF1

67、·

68、PF2

69、＝32.试求△F1PF2的面积．[思路探究]　根据双曲线的定义及余弦定理求出∠F1PF2即可．[解]　由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线定义及P是双曲线左支上的点得

70、PF1

71、－

72、PF2

73、＝－6，∴

74、PF1

75、2＋

76、PF2

77、2－2

78、PF1

79、·

80、PF2

81、＝36，又∵

82、PF1

83、·

84、PF

85、2

86、＝32，∴

87、PF1

88、2＋

89、PF2

90、2＝100，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S＝

91、PF1

92、·

93、PF2

94、＝16.1．(变换条件)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离．[解]　由－＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5，由双曲线定义得

95、

96、PF1

97、－

98、PF2

99、

100、＝6，即

101、PF1

102、－

103、PF2

104、＝±6，∴

105、PF2

106、＝10±6，∴点P到焦点F2的距离为4或16.2．(变换条件)若把本例条件“

107、PF1

108、·

109、PF2

110、＝32”换成“

111、PF1

112、∶

113、PF2

114、＝2∶5”，其他条件不变，试求△F1PF2的面积．[解]　由－

115、＝1得a＝3，b＝4，∴c＝5，由

116、PF1

117、∶

118、PF2

119、＝2∶5，可设

120、PF1

121、＝2k，

122、PF2

123、＝5k.由

124、PF2

125、－

126、PF1

127、＝6可得k＝2，∴

128、PF1

129、＝4，

130、PF2

131、＝10，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝，∴sin∠F1PF2＝，∴S＝

132、PF1

133、·

134、PF2

135、·sin∠F1PF2＝×4×10×＝8.双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令

136、PF1

137、＝r1，

138、PF2

139、＝r2，∠F1PF2＝θ，因

140、F1F2

141、＝2c，所以有(1)定义：

142、r1－r