2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程学案新人教A版

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1、2.2.1　椭圆及其标准方程学习目标核心素养1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题学习，培养学生的数学运算素养.2.借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养.1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于

4、F1F2

5、”

6、改为“等于

7、F1F2

8、”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于

9、F1F2

10、”改为“小于

11、F1F2

12、”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示]　(1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于

13、F1F2

14、时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a＞b＞0)焦点(－c，0)与(c，0)(0，－c)与(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b21．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则

15、PF1

16、＋

17、PF2

18、等于(　　)A．4　　　　　B．5C

19、．8D．10D　[由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，

20、PF1

21、＋

22、PF2

23、＝2a＝10.]2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0，8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1C　[由题意知c＝8，2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.]3．已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋x2＝1A　[由题意知c＝1，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为

24、＋＝1，又点P(2，0)在椭圆上，∴＋＝1，∴a2＝4，b2＝a2－c2＝3，故椭圆方程为＋＝1.]4．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________．－1或－　[原方程可化为＋＝1.依题意，得即所以k的值为－1或－.]　求椭圆的标准方程【例1】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和(4，0)，且椭圆经过点(5，0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．[解]　(1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1

25、(a＞b＞0)．∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1.故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得因为a＞b＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得所

26、以所求椭圆的标准方程为＋＝1.1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若

27、AF2

28、＝2

29、F2B

30、，

31、AB

32、＝

33、BF1

34、，则C的方程为(　　)A.＋y2＝1

35、　　　　　B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1[答案]　B　椭圆中的焦点三角形问题【例2】　(1)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若

36、PF1

37、＝4，则∠F1PF2的大小为________．(2)已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．思路探究：(1)→→(2)→→→(1)120°　(2)　[(1)由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝.∴

38、PF2

39、＝2a－

40、PF1

41、＝2，∴cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.(2)由＋＝1，可知a＝2，b＝，所

42、以c＝＝1，从而

43、F1F2

44、＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得

45、PF2

46、2＝

47、PF1

48、2＋

49、F1F2

50、2－2

51、PF1

52、

53、F1F2

54、cos∠PF