2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案新人教A版

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1、2.3.1　双曲线及其标准方程学习目标核心素养1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养.2.通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养.1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于

4、F1F2

5、”

6、改为“等于

7、F1F2

8、”或“大于

9、F1F2

10、”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若

11、MF1

12、－

13、MF2

14、＝2a(常数)，且2a<

15、F1F2

16、，则点M的轨迹是什么？[提示]　(1)当距离之差的绝对值等于

17、F1F2

18、时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于

19、F1F2

20、时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c

21、2＝a2＋b21．动点P到点M(1，0)的距离与点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　)A．双曲线　　　　B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线D　[由已知

22、PM

23、－

24、PN

25、＝2＝

26、MN

27、，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.]2．双曲线－＝1的焦距为(　　)A．3B．4C．3　　　　D．4D　[c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4.]3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1或－＝1D.－＝0或－＝0C　[b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.]4．与双曲线－＝1具有相同焦点的双曲线方程是_____

28、___(只写出一个即可)．－＝1　[与－＝1具有相同焦点的双曲线方程为－＝1(－8＜k＜10)．]　双曲线的定义及应用【例1】　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．思路探究：(1)直接利用定义求解．(2)在△F1PF2中利用余弦定理求

29、PF1

30、·

31、PF2

32、.[解]　(1)设

33、MF1

34、＝16，根据双曲线的定义知

35、

36、MF2

37、－16

38、＝6，即

39、MF2

40、－16＝±6.解得

41、MF2

42、＝10或

43、MF2

44、＝22.(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，

45、c＝5.由定义和余弦定理得

46、PF1

47、－

48、PF2

49、＝±6，

50、F1F2

51、2＝

52、PF1

53、2＋

54、PF2

55、2－2

56、PF1

57、

58、PF2

59、cos60°，∴102＝(

60、PF1

61、－

62、PF2

63、)2＋

64、PF1

65、·

66、PF2

67、，∴

68、PF1

69、·

70、PF2

71、＝64，∴S△F1PF2＝

72、PF1

73、·

74、PF2

75、·sin∠F1PF2＝×64×＝16.求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出

76、

77、PF1

78、－

79、PF2

80、

81、＝2a；②利用余弦定理表示出

82、PF1

83、、

84、PF2

85、、

86、F1F2

87、之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出

88、PF1

89、·

90、PF2

91、的值；④利用公式S△PF1F2＝×

92、PF1

93、·

94、PF2

95、

96、sin∠F1PF2求得面积．(2)利用公式S△PF1F2＝×

97、F1F2

98、×

99、yP

100、求得面积．1．(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　)A．

101、PF1

102、－

103、PF2

104、＝±3B．

105、PF1

106、－

107、PF2

108、＝±4C．

109、PF1

110、－

111、PF2

112、＝±5D．

113、PF1

114、2－

115、PF2

116、2＝±4A　[

117、F1F2

118、＝4，根据双曲线的定义知选A.](2)已知定点A的坐标为(1，4)，点F是双曲线－＝1的左焦点，点P是双曲线右支上的动点，则

119、PF

120、＋

121、PA

122、的最小值为________．9　[由双曲线的方程可知a＝2，设右焦点为F1，则F1(4，0)．

123、P

124、F

125、－

126、PF1

127、＝2a＝4，即

128、PF

129、＝

130、PF1

131、＋4，所以

132、PF

133、＋

134、PA

135、＝

136、PF1

137、＋

138、PA

139、＋4≥

140、AF1

141、＋4，当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，此时

142、AF1

143、＝＝＝5，所以

144、PF

145、＋

146、PA

147、≥

148、AF1

149、＋4＝9，即

150、PF

151、＋

152、PA

153、的最小值为9.]　求双曲线的标准方程【例2】　根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点A；(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．思路探究