第十三讲不等式证明选讲

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1、第十三讲不等式证明选讲本节主要内容为证明不等式的基本方法——比较法；综合法于分析法；放缩法；放缩法；反证法；数学归纳法；数形结合以及运用函数的性质．A类例题例1设，证明分析：可以把不等式两边相减，通过恒等变形（例如配方，因式分解等），转化为一个能够明确确定正负的代数式．证明：，当且仅当时等号成立．说明：要证，最基本的方法就是证明，即把不等式两边相减，转化为比较差与0的大小，此法用的频率极高．链接：本题可推广为都不小于1，证明：（注：要用数学归纳法）例2设，，比较与的大小．（1982年全国高考题）分析：显然，要比较的两个

2、数都是正数，把它们相除考察商式与1的大小关系，同样可得出两数的大小关系，即为正数解：由于，，同理，，因此例31），证明2）为任意正整数，证明1）分析：观察欲证不等式的特点，已知中有，结论中有，这种结构特点启发我们采用如下方法．证明：因为，所以，同理，因此，，又，故说明：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．2）分析：从不等式的结构不易发现需要用哪些不等式的性质或事实解决这个问题，因此用分析法．证明：要证，只需证

3、，也就是要证，两边平方，只需证，只需证，该式对一切正整数都成立，所以成立．说明：证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要的命题成立，这种证明的方法叫做分析法．这是一种执果索因的思考和证明方法，在寻求证明思路时尤为有效．当问题比较复杂时，时常把分析法和综合法结合起来使用．以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．在实际的证题思考过程中，执果索因和由因导果总是不断交替地出现在思维过程中．链接：用此已经获证的不等式很容易证出一个新

4、的不等式：例31）设是一个三角形的三条边长，，证明2）设，，比较与的大小（1992年上海高考题改编）1）证明：用分析法证不等式的前半部分．要证，只需证，即证，只需证，因为该不等式是我们熟知的已经成立的不等式，所以成立．又，同理，这样便有，也即．综上得2）分析：用特殊值代入获得的印象是时，从开始，因此我们从作差入手，用放缩法完成全部结论．解：（当时），所以又（当时），所以．综上可知时，；时，说明：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种证法称为放缩法．比如说直接证明

5、不等式比较困难，可以试着去找一个中间量，如果有及同时成立，自然就有．所谓“放缩”即将放大到，再把放大到，或者反过来把缩小到再缩小到，不等式证明的技巧常体现在对放缩尺度的把握上．情景再现1.设，证明2.1）设，证明2）为任意实数，满足，求证3.设，则的最小值=__________B类例题例3设，满足1）2），，证明：分析：从要证明的结论看，去分母是不可能的，因为去分母计算量太大，去分母后也无法利用已知条件．另外，应该注意已知条件2）实际上包含着个不等式，考虑到以上特点，因此用比较法，先作差．证明：（依次类推）…，因此说明

6、：证题过程看似好长，实际上关键步骤只有一两个．从数学欣赏的角度看，本题已知，求证和证法合在一起，显得十分和谐优美．例31）证明：任何三个实数都不可能同时满足下列三个不等式：，，2）设是实数且满足，证明、、中最多有两个数大于1（第44届塞尔维亚和里山数学奥林匹克）分析：要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑反证法．1）证明：假设存在某三个实数同时满足题设的三个不等式，将它们的两端都同时平方，然后分别移项、分解因式得：（1）（2）（3）三式相乘得，这显然是不可能的，因此原命题成立．说明

7、：本题所得到的三个不等式（1）（2）（3），单独看哪一个看不出有什么毛病，而一旦把它们求积，矛盾便显现在眼前．2）证明：假设三个数、、都大于1，由于中至少有一个是正的，不妨设，于是．同理可推得，因此都是正数．由，即，同理，，三式相乘得，此与已知矛盾，因此题目结论成立．说明：反证法的根据是排中律，是用证明逆否命题成立来替代原命题成立．其难点在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路以便尽快凸现矛盾．例7设数列满足，，证明（2001年中国西部数学奥林匹克）分析：这是一个有关正整数的命题，很自然地考虑用数学归纳法，注意到

8、1001接近2001的一半，因此可以试着证明（1）证明：时，，命题成立．设时，（1）成立，即，当时，有，故对一切，（1）都成立，从而例81）为非负实数，，证明：2）设，证明分析：从1），2）的结构看，似乎分别与勾股定理、余弦定理有些联系，因此可以把题中的式子赋于几何意义，从而把复杂的代数不等式化为相应的较为简单的几何不等式．1）证