03.不等式证明选讲

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1、《不等式选讲》复习建议一、《不等式证明选讲》考试说明具体要求如下：(１)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式①

2、a+b

3、≤

4、a

5、+

6、b

7、②

8、a－b

9、≤

10、a－c

11、+

12、c－b

13、（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

14、ax+b

15、≤c、

16、ax+b

17、≥c、

18、x－c

19、+

20、x－b

21、≤a（3）会用不等式①和②证明一些简单问题。能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值。（4）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。删去（2）了解柯西不等式的不同形式，理解他们的几何意义，并会证明。①柯西不等式向

22、量形式：

23、a

24、

25、b

26、≥

27、a·b

28、②+≥（通常称作平面三角不等式）（3）会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。二、思维总结1．不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，

29、开扩视野。2．不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等。换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点。3．几个重要不等式（让学生理解并记忆，能直

30、接套用公式及其变式）①若aÎR，则

31、a

32、≥0,a2≥0.②若a、bÎR，则a2+b2≥2ab（或a2+b2≥2

33、ab

34、≥2ab）（当且仅当a=b时取等号）③如果a,b都是正数，那么≤（当且仅当a=b时取等号）变式：x+≥2(x>0);+≥2(ab>0,当且仅当a=b时取等号)④a3+b3+c3≥3abc（a,b,cÎR+）,≥（当且仅当a=b=c时取等号）；⑤(a1+a2+……+an)≥(aiÎR+,i=1,2,…，n)，当且仅当a1=a2=…=an取等号；变式：a2+b2+c2≥ab+bc+ca;ab≤()2(a,bÎR+);abc≤()3(

35、a,b,cÎR+)a≤≤≤≤≤b.(0b>n>0,m>0;题型讲解一、含绝对值不等式的求解记熟公式：当a>0时

36、x

37、≤aÛ－a≤x≤a；

38、x

39、>aÛx>a或x<－a1、（上海卷1）不等式

40、x－1

41、<1的解集是　　　　　．（0，2）2、不等式组的解集为()C(A)(0,)；(B)(,2)；(C)(,4)；(D)(2,4)。3、（广东卷16）若不等式｜3x－b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围是。（5，7）.4、（08广东卷14）（不等式选讲选做题）已知aÎR，若关于x的方程x2+x+

42、a－

43、+

44、

45、a

46、=0有实根，则a的取值范围是．[0,]5、若对任意xÎR,不等式

47、x

48、≥ax恒成立，则实数a的取值范围是()B(A)a＜－1(B)

49、a

50、≤1(C)

51、a

52、＜1（D）a≥16、（山东卷）0

53、log(1+a)(1－a)

54、+

55、log(1－a)(1+a)

56、>2（B）

57、log(1+a)(1－a)

58、<

59、log(1－a)(1+a)

60、（C）

61、log(1+a)(1－a)

62、+

63、log(1－a)(1+a)

64、<

65、log(1+a)(1－a)

66、+

67、log(1－a)(1+a)

68、（D）

69、log(1+a)(1－a)

70、－

71、log(1

72、－a)(1+a)

73、<

74、log(1+a)(1－a)

75、－

76、log(1－a)(1+a)

77、7、（江苏卷）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是(C)（A）

78、a－b

79、≤

80、a－c

81、+

82、b－c

83、　　　（B）a2+≥a+（C）

84、a－b

85、+≥2　　　　　（D）－≤－8、（北京文科15）记关于x的不等式<0的解集为P，不等式

86、x－1

87、≤1的解集为Q．（I）若a=3，求P；（II）若QÍP，求正数a的取值范围．解：（I）由<0，得P={x

88、－1

89、

90、x－1

91、≤1}={x

92、0≤x≤2}．由a>0，得P={x

93、－1

94、QÍP，所以a>2，即a的取值范围是(2,+¥)．9、(上海卷)三个同学对问题“关于x的不等式x2+25+

95、x3－5x2

96、≥ax在[1，12]上恒成立