高中数学课时作业13必修

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1、课时作业13 球

2、基础巩固

3、(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知两个球的半径之比为1:3,那么这两个球的表面积之比为(  )A.1:9 B.1:27C.1:3D.1:1解析:设两球的半径分别为r1,r2,表面积分别为S1,S2,∵r1:r2=1:3,∴S1:S2=4πr:4πr=r:r=1:9.故选A.答案:A2.已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱,它们的表面积相等,则它们的体积的大小关系是(  )A.V正方体=V圆柱=V球B.V正方体V圆

4、柱>V球D.V圆柱>V正方体>V球解析:设正方体的棱长、球的半径、圆柱底面圆的半径分别为a,R,r,则S正方体=6a2,S球=4πR2,S圆柱=6πr2,由题意,知S正方体=S球=S圆柱,所以a=r,R=r,所以V正方体=a3=πr3,V球=πR3=πr3,V圆柱=2πr3,显然可知V正方体

5、面正六边形的外接圆半径r=1,其高h=1,∴球半径为R===,∴该球的体积V=πR3=×π=.答案:D4.设球内切于圆柱,则此圆柱的全面积与球的表面积之比为(  )A.1:1B.2:1C.3:2D.4:3解析:如图为球的轴截面,由题意,设球的半径为r,则圆柱的底面圆半径为r,圆柱的高为2r,于是圆柱的全面积为S1=2πr2+2πr·2r=6πr2,球的表面积为S2=4πr2.∴==.答案:C5.一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则

6、这个四面体的外接球的表面积是(  )A.πB.3πC.4πD.6π解析:由三视图可知:该四面体是正方体的一个内接正四面体.∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长.∴此四面体的外接球的表面积为4π×()2=3π.故选:B.答案:B二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,三棱锥P-ABC的体积为________.解析:依题意有,三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC·

7、PA

8、=××22×3=.答案:7.把直径分别为6cm,8c

9、m,10cm的三个铁球熔成一个大铁球,则这个大铁球的半径为________cm.解析:设大铁球的半径为Rcm,由πR3=π×3+π×3+π×3,得R3=216,得R=6.答案:68.(2016·河源市高二(上)期中)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为6cm,深为1cm的空穴,则该球半径是________cm,表面积是________cm2.解析:设球心为O,OC是与冰面垂直的一条球半径,冰面截球得到的小圆圆心为D,AB为小圆D的一条直径,设球的半径为R,则OD=(R-1)cm,

10、则(R-1)2+32=R2,解之得R=5cm,所以该球表面积为S=4πR2=4π×52=100π(cm2).答案:5 100π三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,扇形所含中心角为90°,弦AB将扇形分成两部分,这两部分各以AO为轴旋转一周,求这两部分旋转所得旋转体的体积V1和V2之比.解析:△ABO旋转成圆锥,扇形ABO旋转成半球,设OB=R.V半球=πR3,V锥=·R·R2=R3,∴(V半球-V锥):V锥=1:1.10.某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋,其上半部分呈半球形,下半部分呈圆锥形(如图

11、).现把半径为10cm的圆形蛋皮等分成5个扇形,用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计),求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积.解析:设圆锥的底面半径为r,高为h.∵2πr=π·10,∴r=2.h==4.∴该蛋筒冰淇淋的表面积S=+2π·22=28π(cm2).体积V=π·22×4+π·23=(+1)π(cm3).

12、能力提升

13、(20分钟,40分)11.球O的截面把垂直于截面的直径分成13两部分,若截面圆半径为,则球O的体积为(  )A.16πB.C.D.4π解析:设直径被分成的两部分分别为r、3r,易知

14、()2=r·3r,得r=1,则球O的半径R=2,故V=π·R3=π.答案:C12.若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,则圆锥的体积为________.解析:过圆锥的旋转轴作轴截面,得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2,且两圆同圆心,即△ABC的内心与外心重合,易得△ABC为正三角形,由题意知⊙O1的半径为r=1,△ABC的边长为2,于是知圆锥的底面半径为,高为3.故所求体积为V=×π×3×3=3π.答案:

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