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《高中数学第二章函数2.4函数与方程学习导航学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4函数与方程自主整理1.函数零点(1)概念一般地,如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零,即f(a)=0,则a叫做这个函数的零点.(2)意义方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点①当Δ>０时,方程ax2+bx+c=0有两个不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点;②当Δ=０时,方程ax2+bx+c=0有两个相等实根(二重根),二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点;③当Δ<０时,方程
2、ax2+bx+c=0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点.(4)变号零点与不变号零点若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相交,则零点x0通常称为变号零点;若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相切,则零点x0通常称为不变号零点.(5)零点的性质①当函数的图象通过零点时(不是二重零点),函数值变号;②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.2.求函数零点近似解的一种计算方法——二分法(1)定义对于在区间［a,b］上连续不断,且满足f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分
3、为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.注:用二分法的条件f(a)·f(b)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.(2)用二分法求函数零点的一般步骤已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个变号零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过正数ε,即使得
4、x-x0
5、≤ε,一般步骤为:①在区间D上确定区间［a,b］D,使f(a)·f(b)<0;②求区间［a,b］的中点x1;③计算f(x1),若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1〔此时零点x
6、0∈(a,x1)〕;若f(b)·f(x1)<0,则令a=x1〔此时零点x0∈(x1,b)〕.④判断是否达到精确度ε,即若
7、a-b
8、<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复②到④.高手笔记1.虽然有的函数在区间上不连续,但它可能有零点存在;有的函数在区间上是连续的,也不存在零点;如f(x)=与y=1,x∈R.52.如果函数y=f(x)在［a,b］上的图象是连续不断的曲线,且x是函数在这个区间上的一个零点,却不一定有f(a)·f(b)<0.3.函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.求函数的零点就是求相
9、应的方程的根,一般可以借助求根公式或因式分解等办法求出方程的根,从而得到函数的零点.4.对于已知函数的零点在一个大的区间内,在不要求精确的情况下,计算分点的函数值可以简化运算过程,但此法适用于在此区间内零点个数不多的情况.当函数的零点的精确度要求较高时,如果再利用列表法求各区间端点函数值的符号,则所求的值太多,费时费力,考虑用二分法,求零点所在区间,既可以得到精确值,又可以减少运算量.5.非二次函数零点的存在性问题可以利用函数的单调性,然后找出一个较大的区间判断根的存在性.再利用二分法求零点的近似值,所使用的是排除法的思想,即
10、判断符号,排除零点不在的半区间,取另一个零点存在的半区间,继续循环排除,并继续判断,直到找到符合条件的近似值为止,此法不论精确度有多高,均可以计算出来.6.记忆口诀函数连续值两端,相乘为负有零点,区间之内有一数,方程成立很显然.要求方程近似解,先看零点的区间,每次区间分为二,分后两端近零点.名师解惑1.怎样找出方程的一个实数解？能不能找出方程一个实数解的存在区间并利用二分法找出方程的所有实数解？剖析:要找方程的实数解,首先要确定实数解的存在性,即方程对应函数的零点存在区间问题,从而联想有关知识:(1)函数y=f(x)的零点即y
11、=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标;(2)函数y=f(x)的零点即对应方程f(x)=0的实数解;(3)判断函数在某区间有零点的依据.通过计算我们可以得到不同的并且有公共区间的存在区间.方程实数解的存在区间越小,区间两端点就越接近该区间的实数解.倘若给定精确值,在方程解的存在区间端点的近似值相等时,可认为是方程的一个近似解.从而我们可以通过将解的存在区间无限细分的方法:每次将区间二等分、三等分、……,每次只留取区间端点值符号相反的区间.“二分法”是一种通法,它可以用来逼近方程的实数解的精确值,但不能用来找到所有的实数解.2.如
12、何用二分法求给定精确度ε的函数的零点近似值?剖析:用二分法求函数零点的近似值,首先要选好、选准计算的初始区间,这个区间既要符合条件,又要尽量使其长度小;其次要依据给定的精确度及时检验计算中得到的区间是否满足这一精确度,以决定是停止计算还是继续计算.通过不断地求中点,变换存在零
