青海2018届中考数学复习第2编专题突破篇题型5圆的证明与计算精讲习题

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1、题型五　圆的证明与计算,命题规律与解题策略)【命题规律】圆的有关证明与计算是青海中考重点内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现．分值在13分左右，难度在中等偏上．【解题策略】解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，能够快速作出辅助线、找到解题思路与方法是关键．一般辅助线有：连半径、作垂直、构造直径所对的圆周角等．,重难点突破)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　与圆的基本性质有关的计算与证明【例1】(2017呼和浩特中考)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，O

2、M∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为(　　)A．26πB．13πC.D.【解析】根据条件构造垂径定理基本图，应用勾股定理求半径，最后求周长即可．【答案】B【例2】(2017哈尔滨中考)如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B的大小是(　　)A．43°B．35°C．34°D．44°【解析】据题意，由外角关系可求得．【答案】B61．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.(1)求证：△AEC∽△DEB；(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．解：(1)∵∠AEC＝∠DEB，∠ACE＝∠DBE，∴△AEC∽△DEB；(2

3、)设⊙O的半径为r，则OE＝r－2.∵CD⊥AB，AB＝8，∴AE＝BE＝AB＝4.在Rt△OEB中，由勾股定理，得(r－2)2＋16＝r2，解得r＝5.【方法指导】已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算．2．(永州中考)如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P＝(　D　)A．45°B．40°C．25°D．20°【方法指导】圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化．　与

4、圆的切线有关的证明【例3】(2017荆门中考)已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AC＝3，BC＝4，求BE的长．【解析】(1)作半径证垂直，已知∠C＝90°，只需要证明AC∥OD即可；(2)先用A型相似求出半径，再用BE＝AB－AE即可．【答案】6解：(1)连接OD.在Rt△ADE中，点O为AE的中心，∴DO＝AO＝EO＝AE.∵点D在⊙O上，且∠DAO＝∠ADO.又AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAO，∴∠ADO＝∠CAD，∴AC∥DO.∵∠C＝9

5、0°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC.又OD为半径，∴BC是⊙O的切线；(2)在Rt△ACB中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5.设OD＝r，则BO＝5－r.∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴＝，即＝，解得r＝，∴BE＝AB－AE＝5－＝.【例4】(2017枣庄中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)【解析】(1)连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠OD

6、B＝90°，从而证得BC是⊙O的切线；(2)在Rt△OBD中，设OF＝OD＝x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径．求出圆心角的度数，用Rt△ODB的面积减去扇形DOF的面积即可求得阴影部分面积．【答案】解：(1)BC与⊙O相切．证明如下：连接OD.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切；(2)设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2.由勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(

7、x＋2)2＝x2＋12，解得x＝2，6即OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2＝4.∵Rt△ODB中，OD＝OB，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴S扇形DOF＝＝，∴S阴影＝S△ODB－S扇形DOF＝×2×2－＝2－.故阴影部分的面积为2－.3．(2017宜城适应性试题)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积