海林高中数学第三章3.3导数在研究函数中的应用3.3.1导数与单调性导学案

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1、3.3.1导数在研究函数中的应用【课标学习目标】1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)[目标解读]1．重点是利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．2．难点是利用导数证明一些简单不等式．【情境引入】中国是世界上人口最多的发展中国家．人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情，统筹解决人口问题始终是中国实现经济发展、社

2、会进步和可持续发展面临的重大而紧迫的战略任务．从20世纪70年代以来，中国政府坚持不懈地在全国范围推行计划生育基本国策，鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子，依照法律法规合理安排生育第二个子女．经过30年的努力，有效地控制了人口过快增长，实现了人口再生产类型由高出生率、低死亡率、高自然增长率向低出生率、低死亡率、低自然增长率的历史性转变．研究人口增长问题需要用到导数，从下图可以看出中国人口每增长2亿人所经历的时间越来越短．函数的单调性与导数有怎样的关系呢？提示：导数的符号决定函数的单调性．【新知探究】1．在某个区间(a，b)内，如果________

3、，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．利用导数判别函数的单调性的法则如下：如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)>0，则f(x)在这个区间上________；如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)<0，则f(x)在这个区间上________．5【题型探究】题型一　判断函数的单调性【例1】讨论下列函数的单调性：(1)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)；(2)f(x)＝(－1

4、na－a－x·lna·(－x)′＝lna(ax＋a－x)．当a>1时，lna>0，ax＋a－x>0，∴f′(x)>0，∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．当00，∴f′(x)<0，∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．(2)∵此函数为奇函数，且在(－1,1)上连续，∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性．当00，则f′(x)<0，函数在(0,1)上是减函数；若b<0，则f′(x)>0，函数在(0,1)上是增函数．又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相

5、同的单调性，∴当b>0时，函数f(x)在(－1,1)上是减函数．当b<0时，函数f(x)在(－1,1)上是增函数．【评析】在判断含参函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误判断，分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思维在联系知识与能力中的作用，从而提高计算能力．变式训练1　已知f(x)＝(a>0且a≠1)．讨论f(x)的单调性．[解析]　函数的定义域为R，f′(x)＝.当a>1时，lna>0，f′(x)>0；当01时，f(x)在R上单

6、调递增，00，∴f(x)＝x3＋3x在x∈R上单调递增．(2)要使函数y＝有意义，必须2x－x2≥0，即0≤x≤2.∴函数的定义域为[0,2]．f′(x)＝()′＝(2x－x2)·(2x－x2)′＝.令f′(x)>0，则>0，即⇒0

7、并集的形式．题型三　函数单调性的综合应用【例3】已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．【分析】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力．【解析】(1)由已知得f′(x)＝3x2－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立．∵3x2≥0，∴a≤0.又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0(只有x＝0时，f′(x)＝0)，∴此时f(x)

8、＝x3－1在R上仍为单调递增函数，∴a≤0.(2)证明：∵f(－1)＝a－2