高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数学案含解析新人教A版

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1、§3.3　导数在研究函数中的应用3.3.1　函数的单调性与导数学习目标　1.了解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一　函数的单调性与其导数正负的关系思考1　f(x)＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，那么f′(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上的函数值的大小如何？答案　当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.思考2　y＝f(x)在区间(a，b)上的单调性与y＝f′(x)在区间(a，b)上的函数值的正、负有何关系？答案　在区间(a

2、，b)上，f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；在区间(a，b)上，f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上为减函数．梳理　(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f′(x)≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对

3、任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.知识点二　函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　×　)2．函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　×　)3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　√　)类型一　原函数和导函数图象之间的关系例1　已知函数y＝

4、f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的(　　)考点　函数变化的快慢与导数的关系题点　根据原函数图象确定导函数图象答案　C解析　由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：x(－1，b)(b，a)(a,1)f(x)↘↗↘f′(x)－＋－由表分析函数y＝f′(x)的图象：当x∈(－1，b)时，函数图象在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图象在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图象在x轴下方．故选C.反思与感悟　对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内单调递减，则在此区间

5、内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图象．跟踪训练1　函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是(　　)A.∪[2,3)B.∪C.)∪[1,2]D.∪∪考点　函数变化的快慢与导数的关系题点　根据原函数图象确定导函数图象答案　A解析　求f′(x)≤0的解集，即求函数f(x)在上的单调减区间．由题干图象可知y＝f(x)的单调减区间为，[2,3)．类型二　利用导数求函数的单调区间例2　求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝3x2－2lnx.考点　

6、利用导数研究函数的单调性题点　不含参数求单调区间解　(1)f′(x)＝6x2＋6x－36.由f′(x)＞0，得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；由f′(x)＜0，解得－30，即2·>0，解得x>.令f′(x)<0，即2·<0，解得0

7、(x)>0和f′(x)<0.(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间．跟踪训练2　求函数f(x)＝的单调区间．考点　利用导数研究函数的单调性题点　不含参数求单调区间解　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，得x<3.又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．类型三