2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数讲义(含解析)

2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数讲义(含解析)

ID:40255632

大小:367.77 KB

页数:12页

时间:2019-07-29

2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数讲义(含解析)_第1页
2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数讲义(含解析)_第2页
2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数讲义(含解析)_第3页
2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数讲义(含解析)_第4页
2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数讲义(含解析)_第5页
资源描述:

《2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数讲义(含解析)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库

1、3.3.1 函数的单调性与导数    预习课本P89~93,思考并完成以下问题1.函数的单调性与导数的正负有什么关系?  2.利用导数判断函数单调性的步骤是什么?  3.怎样求函数的单调区间?  1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a,b)内的函数y=f(x):f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递f′(x)<0单调递2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大比较“陡峭”(向上或向下)越小比较“平缓”(向上或向下)  [点睛] 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明(1)若在某区间上

2、有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则函数f(x)在定义域上单调递增(  )(2)函数在某一点的导数越大,函数在该点处的切线越“陡峭”(  )(3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上导数的绝对值越大(  )答案:(1)× (2)× (3)√2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区

3、间是(  )A.(-∞,2)        B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)答案:D3.设f(x)=x+(x<0),则f(x)的单调递减区间为(  )A.(-∞,-2)B.(-2,0)C.(-∞,-)D.(-,0)答案:D4.函数f(x)=sinx-2x在(-∞,+∞)上是________(填“增”或“减”)函数.答案:减判断或讨论函数的单调性[典例] 已知函数f(x)=ax3-3x2+1-,讨论函数f(x)的单调性.[解]由题设知a≠0.f′(x)=3ax2-6x=3ax,令f′(x)=0,得x1=0,x2=.当a>0时,若x∈(-∞,0),则f′(x)>0.∴f(x)在区间

4、(-∞,0)上为增函数.若x∈,则f′(x)<0,∴f(x)在区间上为减函数.若x∈,则f′(x)>0,∴f(x)在区间上是增函数.当a<0时,若x∈,则f′(x)<0.∴f(x)在上是减函数.若x∈,则f′(x)>0.∴f(x)在区间上为增函数.若x∈(0,+∞),则f′(x)<0.∴f(x)在区间(0,+∞)上为减函数.利用导数证明或判断函数单调性的思路[活学活用]1.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是(  )A.y=sinx        B.y=xexC.y=x3-xD.y=lnx-x解析:选B y′=(xex)′=ex+xex=ex(x+1)>0在(0,+∞)上恒成立,∴y

5、=xex在(0,+∞)上为增函数.对于A、C、D都存在x>0,使y′<0的情况.2.证明:函数y=xsinx+cosx在上是增函数.证明:y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx.∵x∈,∴cosx>0,∴y′>0.即函数y=xsinx+cosx在上是增函数.求函数的单调区间[典例] 求下列函数的单调区间.(1)f(x)=3x2-lnx;(2)f(x)=-ax3+x2+1(a≤0).[解] (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=6x-=.令f′(x)>0,即>0,∵x>0,∴6x2-1>0,∴x>.令f′(x)<0,即<0,∵x>0,∴6x2-1<0,∴0<x<.∴

6、f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).②当a<0时,f′(x)=-ax2+2x,f′(x)>0⇔(-ax+2)x>0⇔x>0⇔x>0或x<;f′(x)<0⇔<x<0.故f(x)的单调递增区间为和(0,+∞),单调递减区间为.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f′(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0;(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.[注意] 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一

7、个,那么这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.    [活学活用]求下列函数的单调区间.(1)f(x)=-x3+3x2;(2)f(x)=.解:(1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)=-3x2+6x=-3x(x-2).令f′(x)>0,解得0<x<2,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2);令f′(x)<0,解得x<0或x>2,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞).(2

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。