2018_2019学年高中数学导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性学案苏教版

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1、3.3.1　单调性学习目标：1.了解函数的单调性与导数的关系．　2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法，会求函数的单调区间．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0增函数f′(x)<0减函数2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)[基础自测]1．判断正误：(1)

2、函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　)(2)f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)一定大于零．(　　)(3)若f(x)＝(x≠0)，则f′(x)＝－＜0，所以f(x)是单调减函数．(　　)【解析】　(1)×.反例：f(x)＝－，f′(x)＝＞0，但f(x)在其定义域上不是增函数．(2)×.反例：f(x)＝x3在(－1,1)上是增函数，但f′(0)＝0.(3)×.f(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在其定义域上不是减函数．【答案】　(1)×　(

3、2)×　(3)×2．函数f(x)＝x3－x的单调减区间是__________．【解析】　f′(x)＝x2－1，令f′(x)＜0，即x2－1＜0，得－1＜x＜1，∴函数减区间(－1,1)．【答案】　(－1,1)[合作探究·攻重难]函数与其导函数图象之间的关系　(1)如图331，设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是________(填序号)．图331(2)已知函数y＝xf′(x)的图象如图332(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象

4、中，y＝f(x)的图象大致是________(填序号).【导学号：95902215】图332[思路探究]　(1)通过对各个选项中图象的变化判断是否符合题目的条件．(2)根据y＝xf′(x)函数图象中所反映的f′(x)的符号，确定y＝f(x)的单调区间，确定y＝f(x)的图象．【自主解答】　(1)①，②，③均有可能；对于④，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)由题图知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，∴当x＜－1时，函数y＝f

5、(x)单调递增；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0，∴当－1＜x＜0时，函数y＝f(x)单调递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，∴当0＜x＜1时，函数y＝f(x)单调递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，∴当x＞1时，y＝f(x)单调递增．综上可知，③是y＝f(x)的大致图象．【答案】　(1)④　(2)③[规律方法]　1．利用原函数图象可以判断导函数的正负，原函数的单调增区间即为应为f′(x)＞0的区间，原函数的减区间就是导函数应为f′(x)＜0的区间．2．

6、利用导函数的图象可以判断原函数的单调区间，导函数在x轴上方的区间就是原函数的增区间，导函数在x轴下方的区间就是原函数的减区间．[跟踪训练]1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数f′(x)图象如图333所示．图333(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的解析式.【导学号：95902216】【解】　(1)由函数f(x)的导函数图象知函数f(x)递增区间(－∞，0)和(2，＋∞)；递减区间为(0,2)．(2)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c将(0,0)，(1，－2)，(2,0)三点代入得

7、∴f(x)＝x3－2x2.求函数的单调区间　求下列各函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3－3x2；(2)f(x)＝.[思路探究]　→→→【自主解答】　(1)函数f(x)定义域为R，且f′(x)＝6x2－6x.令f′(x)＞0，即6x2－6x＞0，解得x＞1或x＜0；令f′(x)＜0，即6x2－6x＜0，解得0＜x＜1.所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)；单调递减区间是(0,1)．(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.令f′(x)＞0，即＞0，得0＜x＜e；令f′(x)＜0

8、，即＜0，得x＞e，所以f(x)的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e，＋∞)．[规律方法]　1．利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，不等式的解集就是函数的单调区间．2．利用导数求单调区间时，要特别注意不能忽视函数的定义域，在解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)时，要在定义域前提下求解．如果函数的单调区间不