2018_2019学年高中数学导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3最大值与最小值学案苏教版

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1、3.3.3　最大值与最小值学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念．　2.掌握用导数求函数的极值与最值的步骤，会求闭区间上函数的最大值与最小值．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．函数的最大值与最小值如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，则f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值(最小值)．2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤第一步，求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步，将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．[基础自测]1．判断正误：(1)函

2、数的最大值一定是函数的极大值．(　　)(2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．(　　)【解析】　(1)×.反例：f(x)＝x3－x2＋2x＋1在[0,10]的最大值是f(10)，而不是其极大值f(1)．(2)√.因为函数是单调函数，故无极值，又因为是开区间，所以最值不可能在区间端点上取到，故正确．(3)×.反例：f(x)＝－x2在[－1,1]上的最大值为f(0)＝0，不在区间端点取得．【答案】　(1)×　(2)√　(3)×2．已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________．【解析】

3、　y′＝3x2－2x－1，由y′＝0得3x2－2x－1＝0，得x1＝－，x2＝1.∵f(0)＝0，f(1)＝－1，f(3)＝27－9－3＝15，∴该函数在[0,3]上的最大值为15.【答案】　15[合作探究·攻重难]求函数的最值　求函数f(x)＝2x3－12x(x∈[－1,3])的最值．[思路探究]　求f′(x)，研究f(x)在[－1,3]上的极值，并与f(－1)，f(3)比较确定最值．【自主解答】　f′(x)＝6x2－12＝6(x2－2)＝6(x＋)(x－)．由f′(x)＝0得x＝－或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1，)(,3)3f′(x)－0＋f(x

4、)10↘－8↗18由上表知函数f(x)的最小值是－8，最大值是18.[规律方法]　求一个函数在闭区间上的最值，只需先求出函数在闭区间上的极值，然后比较极值与区间端点处的函数值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.[跟踪训练]1．求函数f(x)＝x(1－x2)，x∈[0,1]的最值.【导学号：95902236】【解】　易知f′(x)＝1－3x2.令f′(x)＝1－3x2＝0，则x＝±.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x01f′(x)＋0－f(x)0↗↘0由上表知f(x)的最大值为，最小值为0.含参数的函数最值问题　a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3a

5、x(0≤x≤1)的最大值．[思路探究]　此题是求函数在闭区间上的最值问题，要注意对参数a进行分类讨论．【自主解答】　f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.因为x∈[0,1]，所以只需考虑x＝的情况．(1)0＜＜1，即0＜a＜1时，当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a.(如下表所示)x(0，)(，1)f′(x)＋0－f(x)↗2a↙(2)≥1时，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝3a－

6、1.综上可知，当a≤0时，x＝0时，f(x)有最大值0.当0＜a＜1时，x＝时，f(x)有最大值2a.当a≥1时，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.[规律方法]　求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论，由于函数的最值只能在极值点或端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可，最后再将讨论的情况进行合并整理.[跟踪训练]2．已知函数f(x)＝g(x)·h(x)，其中函数g(x)＝ex，h(x)＝x2＋ax＋a.(1)求函数g(x)在(1，g(1))处的切线方程；(2)当0＜a＜2时，求函数f(x)在x∈[－2a，a]上的最大值；【导学号：95902237】【解

7、】　(1)g′(x)＝ex，故g′(1)＝e，所以切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex.(2)f(x)＝ex·(x2＋ax＋a)，故f′(x)＝(x＋2)(x＋a)ex，令f′(x)＝0，得x＝－a或x＝－2.①当－2a≥－2，即0＜a≤1时，f(x)在[－2a，－a]上单调递减，在[－a，a]上单调递增，所以f(x)max＝max{f(－2a)，f(a)}．由于f(－2a)＝(2a2＋a)e－2a，f(a)＝(2