2018_2019学年高中数学导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2极大值与极小值学案苏教版

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1、3.3.2　极大值与极小值学习目标：1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．(难点)　2.掌握函数极值的判定及求法．(重点)[自主预习·探新知]1．函数极值的定义函数的极值极大值设函数y＝f(x)在x＝x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0值附近所有各点的函数值都要大，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值．极小值设函数y＝f(x)在x＝x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0值附近所有各点的函数值都要小，则称f(x0)是函数f(x)的一个极

2、小值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．[基础自测]1．判断正误：(1)函数f(x)＝有极值．(　　)(2)函数的极大值一定大于极小值．(　　)(3)若f′(x0)＝0，则x0一定是函数f(x)的极值点．(　　)【解析】　(1)×.f(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，故

3、无极值．(2)×.反例，如图所示的函数的极大值小于其极小值．(3)×.反例，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，且f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．【答案】　(1)×　(2)×　(3)×2．函数y＝x＋的极大值为________．【解析】　y′＝1－，令y′＝0得x2＝1，x＝±1.当x∈(－∞，－1)时，y′>0.当x∈(－1,0)时，y′<0.∴y＝x＋在x＝－1处取得极大值y＝－2.【答案】　－2[合作探究·攻重难]求函数的极值　求下列函数的极值：(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；(

4、2)y＝2x＋.【导学号：95902226】[思路探究]　f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处有极值的必要条件，只有再加上x0左右导数的符号相反，才能判定函数在x0处取得极值．【自主解答】　(1)函数的定义域为R.y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)，令y′＝0，得x＝－3或x＝1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值57↘极小值－7↗从上表中可以看出，当x＝－3时，函数取得极大值，且y极大值＝57.当

5、x＝1时，函数取得极小值，且y极小值＝－7.(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y′＝2－＝2＝2，令y′＝0，得x＝－2或x＝2.当x＜－2时，y′＞0；当－2＜x＜0时，y′＜0.即x＝－2时，y取得极大值，且极大值为－8.当0＜x＜2时，y′＜0；当x＞2时，y′＞0.即x＝2时，y取得极小值，且极小值为8.[规律方法]　求函数极值的方法(1)求f′(x)＝0在函数定义域内的所有根；(2)用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小区间、列表；(3)由f′(x)在各小区间内的符

6、号，判断f′(x)＝0的根处的极值情况.[跟踪训练]1．求函数y＝x4－4x3＋5的极值．【解】　y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,3)3(3，＋∞)y′－0－0＋y↘不是极值↘极小值－22↗故当x＝3时函数取得极小值，且y极小值＝f(3)＝－22.已知函数的极值求参数　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，

7、c的值；(2)求函数的极大值和极小值．[思路探究]　可导函数的极值点一定是使导函数值为零的点，因此f′(1)＝0，f′(－1)＝0，再由f(1)＝－1，得到三个关于a，b，c的方程，联立可求得a，b，c的值．【自主解答】　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由x＝±1是极值点，得又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1.③联立①②③，解得，经验证a，b，c的值符合题意．(2)由(1)得f(x)＝x3－x，所以f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；当－1

8、＜x＜1时，f′(x)＜0.所以，当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝1；当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－1.[规律方法]　已知函数极值，求参数的值时，应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.[跟踪训练]2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，求常数a、b的值.【导学号：95902227】【解】　f′(x)＝3x2＋