第3章《导数及其应用-3.3.2 极大值与极小值》导学案

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1、第3章《导数及其应用-3.3.2》导学案(1)教学过程一、问题情境观察给定函数图像在点P和Q两侧图像的单调性变化:(图1)P点处从左侧到右侧由上升变为下降(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高.Q点处从左侧到右侧由下降变为上升(函数由单调递减变为单调递增)，这时在点Q附近，点Q的位置最低.[1]二、数学建构问题1上述结论可以怎样用数学语言来描述？[2]解极大值点:已知函数f(x)，设x1是定义域内一点，如果在x1附近的所有的x，都有f(x)

2、是定义域内一点，如果在x2附近的所有的x，都有f(x)>f(x2)，就说函数f(x)在x2处取得极小值，把x2称为f(x)的一个极小值点.极大值:称f(x1)为函数f(x)的一个极大值.极小值:称f(x2)为函数f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称为极值.问题2在定义域内，函数的极大值是唯一的吗？函数的极大值一定大于其极小值吗？函数的极值点可能在区间的端点产生吗？作图说明.[3]问题3极值点处导数有何特点？当f'(x0)=0时，能否肯定函数f(x)在x0处取得极值？[4]问题4函数的极值与函数的导数有怎样的关系？[5]3.函数极值与导数关系:如果f'(x0)=0，且在x0的附

3、近的左侧f'(x0)>0，右侧f'(x0)<0，那么f(x0)是极大值；如果f'(x0)=0，且在x0的附近的左侧f'(x0)<0，右侧f'(x0)>0，那么f(x0)是极小值.表1xx1左侧x1x1右侧f'(x)f'(x)>0f'(x)=0f'(x)<0f(x)增↗极大值f(x1)↘减表2xx2左侧x2x2右侧f'(x)f'(x)<0f'(x)=0f'(x)>0f(x)↘减极小值f(x1)增↗概念理解1.取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.2.极值是一个局部的概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义

4、域内最大或最小.3.函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.4.极大值与极小值之间无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值.5.函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.三、数学运用【例1】(教材第88页例1)求f(x)=x2-x-2的极值.(见学生用书P57)[规范板书]解f'(x)=2x-1，令f'(x)=0，解得x=.列表:x左侧右侧f'(x)-0+f(x)↘极小值f↗因此，当x=时，f(x)有极小值f=-.[题后反思]求极值的具体步骤:(1

5、)求导数f'(x).(2)求f'(x)=0的根.(3)列表，检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【例2】(教材第89页例2)求f(x)=x3-4x+的极值.(见学生用书P58)[处理建议]让学生学会纵向看图，并体会在相应的区间上，导数的正负与函数增减的关系，体现数形结合思想.[规范板书]解f'(x)=x2-4，令f'(x)=0，解得x1=-2，x2=2.列表:x(-∞，-2)-2(-2，2)2(2，+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗

6、极大值f(-2)↘极小值f(2)↗因此，当x=-2时，f(x)有极大值f(-2)=；当x=2时，f(x)有极小值f(2)=-5.思考:你能画出函数及其导数的图像吗？[6][题后反思]有效利用图形语言，对照在相同的区间上函数及其导函数的图象，体会导数与函数单调性的关系.【例3】已知函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和极小值，求a的取值范围.(见学生用书P58)[处理建议]先由学生思考，再交流思路，数形结合，帮助学生理解.由函数f(x)有极大值和极小值可知f'(x)=0有两个不同的实数解.[规范板书]解f'(x)=3x2+2ax-a+1，函数f(x)=x3+ax2-

7、(a-1)x+7有极大值和极小值，即f'(x)=0有两个不同的实数解，则Δ=4a2+12(a-1)>0，解得a>或a<.所以a的取值范围是∪.【例4】(教材第89页练习第3题)作出符合下列条件的函数的图像.(1)f(4)=3，f'(4)=0，当x<4时f'(x)>0，当x>4时f'(x)<0；(2)f(1)=1，f'(1)=0，当x≠1时f'(x)>0.[处理建议]先由学生讨论，尝试进行作图；教师在学生中交流，了解学生的思考过程，投影学生的作业，由学生纠正出现的错误及处理建议，并