2018版高中数学第三章导数及其应用3.3.2极大值与极小值学案苏教版选修1

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1、3．3.2　极大值与极小值学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一　函数极值的概念函数y＝f(x)的图象如图所示．思考1　函数在x＝a处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？　　思考2　f′(a)为多少？在x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？　　思考3　函数在x＝b处的情况呢？　　梳理　(1)极小值点与极小值函数y＝f(x)在x＝a处的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在x＝a的左侧f′(x)<0，右侧f′

2、(x)>0.则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值函数y＝f(x)在x＝b处的函数值f(b)比它在x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．________________、________________统称为极值点，____________和____________统称为极值．知识点二　求函数y＝f(x)极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x

3、0的左侧f′(x)________0，右侧f′(x)________0，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0的左侧f′(x)________0，右侧f′(x)________0，那么f(x0)是极小值．类型一　求函数的极值和极值点例1　求下列函数的极值：(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；(2)f(x)＝＋3lnx.　　　反思与感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判

4、断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪训练1　已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．　　　类型二　已知函数极值求参数例2　(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．引申探究1．若本例(2)中函数的极大值点是－1，求a的值．2

5、．若例(2)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围．反思与感悟　已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪训练2　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．　　　类型三　函数极值的综合应用例3　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数

6、f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．　　　反思与感悟　用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．跟踪训练3　已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．　　1．已知函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有________个极大值点，________个极小值点．2．函数f(x)＝x3ex的极

7、值点x0＝________.3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为_______________．4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．5．已知关于x的函数f(x)＝－x3＋bx2＋cx＋bc，若函数f(x)在x＝1处取得极值－，则b＝________，c＝________.1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函