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时间:2019-07-10
《江苏专用2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性学案苏教版选修1_》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.3.1 单调性学习目标:1.了解函数的单调性与导数的关系. 2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法,会求函数的单调区间.(重点、难点)[自主预习·探新知]1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a,b)内的函数y=f(x)f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0增函数f′(x)<0减函数2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)[基础自测]1.判断正误:(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则函数f(x)在定义域上单调递增
2、.( )(2)f(x)在区间(a,b)上是增函数,则f′(x)一定大于零.( )(3)若f(x)=(x≠0),则f′(x)=-<0,所以f(x)是单调减函数.( )【解析】 (1)×.反例:f(x)=-,f′(x)=>0,但f(x)在其定义域上不是增函数.(2)×.反例:f(x)=x3在(-1,1)上是增函数,但f′(0)=0.(3)×.f(x)=在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数,但在其定义域上不是减函数.【答案】 (1)× (2)× (3)×2.函数f(x)=x3-x的单调减区间是__________.【解析】 f′(x)=x2-1,令f′(x)<0,即x2-1<0,得-
3、1<x<1,∴函数减区间(-1,1).【答案】 (-1,1)[合作探究·攻重难]9函数与其导函数图象之间的关系 (1)如图331,设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不正确的是________(填序号).图331(2)已知函数y=xf′(x)的图象如图332(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是________(填序号).【导学号:95902215】图332[思路探究] (1)通过对各个选项中图象的变化判断是否符合题目的条件.(2)根据y=xf′(x)函数图象中所反映的f′(x)的符
4、号,确定y=f(x)的单调区间,确定y=f(x)的图象.【自主解答】 (1)①,②,③均有可能;对于④,若C1为导函数,则y=f(x)应为增函数,不符合;若C2为导函数,则y=f(x)应为减函数,也不符合.(2)由题图知,当x<-1时,xf′(x)<0,∴f′(x)>0,∴当x<-1时,函数y=f(x)单调递增;当-1<x<0时,xf′(x)>0,∴f′(x)<0,∴当-1<x<0时,函数y=f(x)单调递减;当0<x<1时,xf′(x)<0,∴f′(x)<0,∴当0<x<1时,函数y=f(x)单调递减;当x>1时,xf′(x)>0,∴f′(x)>0,∴当x>1时,y=f(x)单调递增
5、.综上可知,③是y=f(x)的大致图象.【答案】 (1)④ (2)③[规律方法] 91.利用原函数图象可以判断导函数的正负,原函数的单调增区间即为应为f′(x)>0的区间,原函数的减区间就是导函数应为f′(x)<0的区间.2.利用导函数的图象可以判断原函数的单调区间,导函数在x轴上方的区间就是原函数的增区间,导函数在x轴下方的区间就是原函数的减区间.[跟踪训练]1.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数f′(x)图象如图333所示.图333(1)写出函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)的解析式.【导学号:95902216】【解】 (1)由函数f(x)的导函数图象知函数
6、f(x)递增区间(-∞,0)和(2,+∞);递减区间为(0,2).(2)f′(x)=3ax2+2bx+c将(0,0),(1,-2),(2,0)三点代入得∴f(x)=x3-2x2.求函数的单调区间 求下列各函数的单调区间:(1)f(x)=2x3-3x2;(2)f(x)=.[思路探究] →→→【自主解答】 (1)函数f(x)定义域为R,且f′(x)=6x2-6x.令f′(x)>0,即6x2-6x>0,解得x>1或x<0;令f′(x)<0,即6x2-6x<0,解得0<x<1.所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(1,+∞);单调递减区间是(0,1).(2)函数f(x)的定义域为(0,+
7、∞),且f′(x)=.令f′(x)>0,即>0,得0<x<e;令f′(x)<0,即<0,得x>e,所以f(x)的单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+∞).9[规律方法] 1.利用导数求函数f(x)的单调区间,实质上是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0,不等式的解集就是函数的单调区间.2.利用导数求单调区间时,要特别注意不能忽视函数的定义域,在解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)时,要在定义域前提下求解.如果函数的单调
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