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《黑龙江省海林市高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1导数.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.3.1导数在研究函数中的应用【课标学习目标】1•结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求两数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)［目标解读］1.重点是利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间.2.难点是利用导数证明一些简单不等式.【情境引入】屮国是世界上人口最多的发展屮国家.人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是屮国现阶段的基本国情，统筹解决人口问题始终是中国实现经济发展、社会进步和可持续发展面临的
2、重大而紧迫的战略任务.从20世纪70年代以来，中国政府坚持不懈地在全国范围推行计划生育基本国策，鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子，依照法律法规合理安排生育第二个子女.经过30年的努力，有效地控制了人口过快增长，实现了人口再生产类型由高出生率、低死亡率、高自然增长率向低出生率、低死亡率、低自然增长率的历史性转变.研究人口增反问题需要用到导数，从下图可以看出中国人口每增长2亿人所经历的时间越来越短.函数的单调性与导数有怎样的关系呢？亿人14.010.15.94.012.119531968198019922()占年公元前2100年1764183470年119年经历3864年
3、15121223420.13550中国人口每增加2亿人大约经历的时间提示：导数的符号决定函数的单调性.【新知探究】1.在某个区间切内，如果,那么函数y=fd)在这个区间内单调递增；如果,那么函数U在这个区间内单调递减.1.利用导数判别函数的单调性的法则如下：如果函数在x的某个开区间内，总有尸(%)>0,则f(x)在这个区间上:如果函数y=f(x)在/的某个开区间内，总有f匕)〈0,则代方在这个区间上•【题型探究】题型一判断函数的单调性bx⑵心）=口（—心1，狞0）・【例1】讨论下列函数的单调性:（1）f（x）=ax-a~x（a＞0且日工1）；【解析】（1）函数的定义域为R.
4、尸(方=hlna—a~x・1n臼•(―x)'=lna(a，+a~r).当臼＞1吋，lna＞0,才+臼_"〉0,:,f（方＞0,・・・函数fd）在（一8,+8）上是增函数.当0幺＜1时,lna＜0,才+C0,:,fUXO,•I函数O）在（一8,+8）上是减函数.（2）・・•此函数为奇函数，且在（一1,1）上连续，.••只需讨论函数在（0,1）上的单调性.当0
5、性,・・・当〃＞0时，函数fCO在（-1,1）±是减函数.当zxo时，函数代劝在（-1,1）上是增函数.【评析】在判断含参函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定尸（方的符号，否则会产生错误判断，分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思维在联系知识与能力屮的作用，从而提高计算能力.变式训练1并——1已知£3=三工7（臼＞0且臼H1）.讨论厂匕）的单调性.a十1［解析］o］n月函数的定义域为R,F&）=—冇飞a+1当曰＞1时，InQO,F3＞0；当oa〈i时，in/o,r（0＜0,・・・日＞1时，f（*）在R上单调递增,0＜水1时,Hx）
6、在R上单调递减.题型二求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)f(x)=/+3x；(2)f(x)=yl2x—x.(3)f(x)=3,—21nx.【解析】(1)VAa)=/+3x,:.ffCy)=3#+3=3(,+1)〉0,・・・f(x)=x+3x在%eR上单调递增.(2)要使函数尸苗二7有意义，必须2a~/^0,即0W/W2.・••函数的定义域为[0,2].F3=(p2x_#)'丄=
7、(2%—/)刁•(2x—/)z=/A-;.2y]2x~x令尸(劝>0,则-7==>0,y)2x—xl-%>0.即]7=>0<%<1.[2x—,>0【评析】求单调区间应先考虑函数定义
8、域.另外，单调区间不可写成并集的形式.题型三函数单调性的综合应用【例3]已知函数f{x)=x—ax—.(1)若fd)在实数集R上单调递增，求实数日的取值范圉；(2)证明：/'(%)=x—ax—的图象不可能总在直线尸&的上方.【分析】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.2【解析】(1)由已知得尸(力=3x—日.・・・fd)在(一g,+«)上是单调递增函数，2f3=3x—曰20在R上恒成立.2・.・3x$0,・・/W0.2又日=0时，f3=3“20(只
