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《黑龙江省海林市高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.3.2函数的极值与最值【课标学习目标】1.了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.4.增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.［目标解读］1.重点是函数极值的判定与求法.2.难点是函数极值的综合应用.【情境引入】“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是英附近的最高点.那么，在数学上
2、，这种现象如何来刻画呢？【课前预习】1.设函数f（x）在点日，力及其附近有定义，如果，函数y=fx）在点x=a的函数值比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f1（臼）=;而且在点*=日附近的左侧尸3,右侧尸3•类似地，函数y=在点x=b的函数值f（方）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，尸（〃）=；而且在点x=b附近的左侧f'（方,右侧f（x）.我们把点&叫做函数y=的，叫做函数y=/V）的；点b叫做函数尸心）的,f（〃）叫做函数y=f{x）的・极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为•2.求函数y=
3、f（x）的极值的方法是：（1）解方程.⑵当尸（aO）=0时:①如果在刊附近的左侧,右侧,那么HaO）是极大值;②如果在曲附近的左侧,右侧,那么代尬）是极小值.1.一般地，求函数y=在［自，方］上的最大值和最小值的步骤如下:⑴⑵【题型探究】【例1］求下列函数的极值：2x（1）H0=#—12上（2）fd）=~^—2.【分析】按照求极值的基本方法，首先从方程尸（方=0入手，求出在函数f（x）的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.【解析】（1）函数代力的定义域为R,尸匕）=3/—
4、12=3匕+2）匕一2）.令尸（0=0,得x=—2或x=2.当/变化时，f（力，fd）变化状态如下表:X(―°°,—2)-2(—2,2)2(2,+°°)+0——0+极大值2）=16极小值£(2)=—16从表中可以看出，当^=-2时，函数有极大值，且f(一2)=(—2尸一12X(-2)=16.当尸2时,函数有极小值,且A2)=23-12X2=-16.⑵函数的定义域为R.2H+1—4#/+!22X—1x+1令f(劝=0,得X=-1或x=l.X(_8,-1)-1(-14)1（1，+8）f（X）—0+0—f(x)极小值
5、一3极大值一1由上表可以看ill,当/=—1吋，函数有极小值，且r（-D=—-2=-3,9当x=l时，函数有极大值，且Al）=-—2=—1.【评析】理解极值的定义是正确解决本题的关键点.应明确f匕）=0只是函数0fd）在处取得极值的必要条件，必须加上该点左右两侧导数符号相反，方能判定在/00处取得极值•【例2］设函数f{x）=2”一3（日+1）#+6日x+8,其中日WR.（1）若代对在x=3处取得极值，求常数臼的值；（2）若f（x）在（一®,0）上为增函数，求臼的取值范围.【分析】由尸（3）=0得关于々的方程求
6、出曰的值，但需要检验；（2）先求fd）的增区间与i,0）进行分析讨论得出自的取值范围.2【解析】（1）f3=6x—6（日+1）x+6日=6（x—自）（^r—1）・因为fd）在/=3处取得极值，所以尸（3）=6（3-a）（3-1）=0,解得日=3.经检验知当＜2=3时,%=3为fx）的极值点•（2）令f（力=6匕一臼）（^―1）=0,得/=已，x=1.I2当水1时，若xG（—8,＜3）U（1,+°°）,则尸（X）＞O,所以f（x）在（一8,臼）和（1,+8）上为增函数.故当0W/1时，f（0在（一8,0）上为增
7、函数.当曰Ml时，若8,1）U（曰，+8）,则尸（方〉0,所以f（x）在（一8,1）和（臼，+^）上为增函数，从而f(A-)在(一8,0)上也为增函数.综上所述，当o是否成立，从而确定曰的取值范]韦I,本题主要考查二次函数的极值问题和利用导数来求函数的单调性.【例3】己知XR,讨论函数tx)=e'(/+ax+a+1
8、)的极值点的个数.【分析】本题是一道函数与导数综合运用问题，首先导数的运算需过关，另外讨论吋分类的标准是关键.X2【解析】f(a)=e
9、>+(&+2)x+(2$+1)],2令尸3=0,得x+(a+2)x+(2a+1)=0.2(1)当力=日一4Q0,即日〈0或日>4时，方程有两个不同的实根”，不妨设12xx〈x,于是尸(龙)=e{x~x){x—x),从而有下表：1212X（一8,X1）X
