海林高中数学第三章3.3导数在研究函数中的应用3.3.3导数的应用导学案

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1、3.3.3导数的应用[学习目标]1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件．3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．【情境引入】当你喝完一罐饮料时，你是否留意过手中的易拉罐？你是否思考过：容积一定的圆柱体易拉罐，怎样设计半径与高之比能使用料最少？在我们的生活中处处存在数学知识，只要留意，你会发现经常遇到的如何才能使“用料最省”“效率最高”“利润最大”等问题，在数学上就是求

2、函数的最大值、最小值问题．那么，我们如何应用数学知识求函数的最大(小)值呢？【新知探究】1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得和，并且函数的最值必在或取得．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的；(2)将函数y＝f(x)的各极值与的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是【例题讲解】例1已知函数f(x)＝ax3－6ax2

3、＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．【思路启迪】　先求出函数f(x)在[－1,2]上的极值点，然后与两个端点的函数值进行比较，建立关于a，b的方程组，从而求出a，b的值．【解】　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．取导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．5(1)当a>0时，列表如下：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋bb－16a＋b由表可知，当x＝0

4、时，f(x)取极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，∴a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.点评:(1)已知函数在闭区

5、间上的最值求其中的参数值时，仍然可以按照求函数最值的方法步骤进行求解，最后建立方程(组)求得参数的值．(2)含参数问题要注意分类讨论，本题在求解时，依据条件需要对a进行分类讨论，以便确定函数f(x)在[－1,2]上的最大值和最小值．例2已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1，若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．【思路启迪】　求出导函数f′(x)，转化为函数的最值问题．【解】　f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，xf′(x)＝xlnx＋1，故xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于l

6、nx－x≤a.令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1，令g′(x)＝0，得x＝1.当00；当x>1时，g′(x)<0，故x＝1是g(x)的极大值点，且是最大值点，则g(x)≤g(1)＝－1.综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．点评：由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成m≥f(x)或m≤f(x)的形式，然后利用导数知识求出函数f(x)的最值，则由结论m≥f(x)max或m≤f(x)min即可求出参数m的取值范围．5例3已知函数f(x)

7、＝x3－x2＋bx＋c.(1)若f(x)有极值，求b的取值范围；(2)当f(x)在x＝1处取得极值时，证明对[－1,2]内的任意两个值x1，x2，都有

8、f(x1)－f(x2)

9、≤.解：(1)∵f(x)＝x3－x2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2－x＋b，要使f(x)有极值，则3x2－x＋b＝0有实数解，从而Δ＝1－12b≥0，∴b≤.而当b＝时，函数在R上单调递增，不符合题意．∴b<.(2)证明：∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝3－1＋b＝2＋b＝0.∴b＝－2.∴f′(x)＝3x2－

10、x－2.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－.由上可知，当x＝1时，f(x)有极小值－＋c；当x＝－时，f(x)有极大值＋c.又f(2)＝2＋c>＋c，f(－1)＝＋c>－＋c.∴x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为－＋c，最大值为2＋c.∴

11、f(x1)－f(x2)

12、≤

13、f(x)max－f(x)min

14、＝.故结论成立．【课堂小结】1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值