高中数学人教A版选修2-3 第2章　随机变量及其分布 2-3 2.3.2(01)

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1、选修2-3　第二章　2.3　2.3.2　一、选择题1．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为(　　)A．3·2－2B．2－4C．3·2－10D．2－8[答案]　C[解析]　E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝C··()11＝3·2－10.2．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)、D(X)的值分别是(　　)A．0和1B．p和p2C．p和1－pD．p和(1－p)p[答案]　D[解析]　由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p

2、，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．3．已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E(η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　)ξ1234PmnA．B．C．D．[答案]　A[解析]　∵E(η)＝E(10ξ＋2)＝10E(ξ)＋2＝20，∴E(ξ)＝1.8即：1×＋2m＋3n＋4×＝1.8，∴2m＋3n＝①又m＋n＝1－－＝②由①②得，m＝.4．甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1000件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品

3、数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别如表一、表二所示．据此判定(　　)表一ξ0123P0.700.20.1表二ξ0123P0.60.20.10.1A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同D．无法判定[答案]　B[解析]　由分布列可求甲的次品数期望为E(ξ)＝0.7，乙的次品数期望为E(η)＝0.7，进而得D(ξ)＝(0－0.7)2×0.7＋(1－0.7)2×0＋(2－0.7)2×0.2＋(3－0.7)2×0.1＝1.21，D(η)＝(0－0.7)2×0.6＋(1－0.7)2×0.2＋(2－0.7)2×0.1＋(3－0.7)2×0.

4、1＝1.01，故乙的质量要比甲好．5．随机变量X～B(100,0.2)，那么D(4X＋3)的值为(　　)A．64B．256C．259D．320[答案]　B[解析]　由X～B(100,0.2)知随机变量X服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256，故选B．6．已知X的分布列如下表：X－1012Pabc且a、b、c成等比数列，E(X)＝，则a＝(　　)A．B．C．D．[答案]　C[解析]　由分布列的性质得a＋b＋c＝①∵E(X)＝，∴－a

5、＋c＋＝，∴a－c＝，②又a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，③将②代入①、③得，由④得b＝－2a，代入⑤得，a＝或a＝，当a＝时，a＋＝>0，不合题意舍去，∴a＝.二、填空题7．(2016·海口高二检测)已知随机变量X～B(4，p)，若E(X)＝2，则D(X)＝________.[答案]　1[解析]　随机变量X服从二项分布X～B(4，p)，E(X)＝2，∴4p＝2，∴p＝，∴D(X)＝4p(1－p)＝1，故答案为1.8．随机变量ξ的取值为0、1、2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.[答案]　[解析]　设ξ＝1的概率

6、为p.则E(ξ)＝0×＋1×p＋2(1－p－)＝1，∴p＝.故D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.9．(2016·枣庄市高二检测)抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B(n，)，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________.[答案]　[解析]　∵3≤n≤8，ξ服从二项分布B(n，)，且P(ξ＝1)＝，∴C·()n－1·(1－)＝，即n·()n＝，解得n＝6，∴方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××(1－)＝.三、解答题10．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于10

7、0表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)[解析]　设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)，根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)

8、＝.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0、1、2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋