高中数学人教A版选修2-3 第2章 随机变量及其分布 2-3 2.4(01)

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1、选修2-3 第二章 2.4 一、选择题1.已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内(  )A.(90,110]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115][答案] C[解析] 由于X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试,∴成绩位于上述三个区间的人数分别是:60×0.6826≈41人,60×0.9544≈57人,60×0.997

2、4≈60人.故选C.2.(2016·武汉高二检测)某班有50名学生,一次考试后数学成绩ξ~N(110,102),若P(100≤ξ≤110)=0.34,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为(  )A.10B.9C.8D.7[答案] C[解析] ∵考试的成绩ξ服从正态分布N(110,102),∴考试成绩ξ的概率分布关于ξ=110对称,∵P(100≤ξ≤110)=0.34,∴P(ξ≥120)=P(ξ≤100)=(1-0.34×2)=0.16,∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8.故选C.3.如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时的三种正态曲线,那么σ1,σ

3、2,σ3的大小关系是(  )A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3[答案] D[解析] 由正态曲线的特点知σ越大,其最大值越小,所以σ1<σ2<σ3,又=,∴σ2=1.故选D.4.某厂生产的零件外直径X~N(8.0,0.0225),单位mm,今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm,则可认为(  )A.上、下午生产情况均为正常B.上、下午生产情况均为异常C.上午生产情况正常,下午生产情况异常D.上午生产情况异常,下午生产情况正常[答案] C[解析] 根据3σ原则,在

4、(8-3×0.15,8+3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常.结合已知可知上午生产情况正常,下午生产情况异常.5.某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为(  )A.10%B.20%C.30%D.40%[答案] D[解析] 由条件知μ=90,P(ξ<60)=0.1,∴P(ξ>120)=0.1,∴P(90≤ξ<120)=[1-2P(ξ<60)]=×(1-0.2)=0.4,故选D.6.以Φ(x)表示标准正态总体在区间(-∞

5、,x)内取值的概率,若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则概率P(

6、ξ-μ

7、<σ)等于(  )A.Φ(μ+σ)-Φ(μ-σ)B.Φ(1)-Φ(-1)C.ΦD.2Φ(μ+σ)[答案] B[解析] 设η=,则P(

8、ξ-μ

9、<σ)=P(

10、η

11、<1)=P(-1<η<1)=Φ(1)-Φ(-1).故选B.二、填空题7.正态变量的概率密度函数f(x)=e-,x∈R的图象关于直线________对称,f(x)的最大值为________.[答案] x=3 8.设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X<1)=,P(X>2)=p,则P(0

12、变量X~N(μ,σ2),∴x=μ是图象的对称轴,∵P(X<1)=,∴μ=1.∵P(X>2)=p,∴P(X<0)=p,则P(0

13、和560元以上的工人大约有多少?[解析] 设该工厂工人的月收入为ξ,则ξ~N(500,202),所以μ=500,σ=20,所以月收入在区间(500-3×20,500+3×20)内取值的概率是0.9974,该区间即(440,560).因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1-0.9974)=1200×0.0026≈3(人).一、选择题1.(2015·湖北理,4)设X~N(μ1,σ),Y~N(μ2,σ),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(  )A.P(Y

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