2017_18学年高中数学第二章函数2.1.2函数的表示方法学案

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1、2.1.2　函数的表示方法[学习目标]　1.掌握函数的三种表示方法：列表法、图象法、解析法，体会三种表示方法的特点.2.掌握函数图象的画法及分段函数的应用.[知识链接]1.在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，).3.函数y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，所以函数与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0).[预习导引]1.函数的图象(1)函数y＝f(x)与其图象F的关系：①图象F上任一点的坐标(x，y)都满足y＝f(x)；②满足y＝f(x)关系式的点(x，y)都在F上.(2)函数y＝f(

2、x)图象的作法：列表、描点、连线.2.函数的常用表示方法表示方法定义列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法.图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法.解析法(公式法)如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法).3.分段函数(1)定义在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.(2)三要素①定义域：由每一段上x的取值范围的并集.②值域：所有函数值组成的集合.③对应法则：在每一段上的对应法则不同.6要点一　作函数图象例1　作出下列函数的图象：

3、(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解　(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.规律方法　1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.2.函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，特别要分清区间端点是实心点还是空心点.跟踪演练1　画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1

4、(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1).解　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).要点二　求函数的解析式例2　(1)已知f(x)是二次函数，其图象的顶点是(1,3)，且过原点，求f(x).(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x).解　(1)由于图象的顶点是(1,3)，故设f(x)＝a(x－1)2＋3(a≠0)，6因为图象过原点，所以a＋3＝0，解得a＝－3，所以f(x)＝－3(x－1)2＋3.(2)方法一　x＋2＝()2＋2＋1－1＝

5、(＋1)2－1，∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1).即f(x)＝x2－1(x≥1).方法二　令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1.代入原式，有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1).规律方法　求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.(2)换元法：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式可用换元法，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求

6、出f(x).跟踪演练2　(1)已知g(x－1)＝2x＋6，求g(3).(2)一次函数的图象过点(0，－1)，(1,1)，求其解析式.解　(1)方法一　令x－1＝t，则x＝t＋1，∴g(t)＝g(x－1)＝2(t＋1)＋6＝2t＋8，∴g(x)＝2x＋8，∴g(3)＝2×3＋8＝14.方法二　令x－1＝3，则x＝4，∴g(3)＝2×4＋6＝14.(2)设一次函数的解析式f(x)＝kx＋b(k≠0)，由题意知∴∴解析式为f(x)＝2x－1.要点三　分段函数及应用例3　已知函数f(x)＝(1)求f(－5)，f(－)，f(f(－))的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值.解　(1)由－5∈(－∞，－

7、2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.∵f(－)＝－＋1＝－，－2＜－＜2，6∴f[f(－)]＝f(－)＝(－)2＋2×(－)＝－3＝－.(2)①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＝3，∴a＝2＞－2不合题意，舍去.②当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，∴a＝1或a＝－