2017_18学年高中数学第三章导数及其应用章末复习提升教学案

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1、第三章导数及其应用1.对于导数的定义,必须明白定义中包含的基本内容和自变量的增量Δx→0的方式,导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限,即=.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.2.曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意:(1)判断P点是否在曲线上;(2)如果曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在),可得方程为x=x0;P点坐标适合切线方程,P点处的切线斜率为f′(x0).93.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数,熟记基本求导公式,熟练

2、运用法则是关键,有时先化简再求导,会给解题带来方便.因此观察式子的特点,对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.4.判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间;(2)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件.5.利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念,是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的.(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个,也可能没有极值点,函数的极大值与极小值

3、没有必然的大小联系,函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小.(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点,但函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充要条件是加上这点两侧的导数异号.6.求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),在[a,b]上必有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值,例如:f(x)=x3,x∈(-1,1).(2)求函数最值的步骤一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在(a,b

4、)内的极值及端点处的函数值f(a),f(b);②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.7.应用导数解决实际问题,关键在于建立恰当的数学模型(函数关系),如果函数在区间内只有一个极值点x0,则f(x0)是函数的最值.题型一 应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义,导数就是相应切线的斜率,从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题.例1 已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).9(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解 函数f(x)的定义

5、域为(0,+∞),f′(x)=1-.(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1-(x>0),∴f(1)=1,f′(1)=-1,∴y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f′(x)=1-=,x>0知:①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a;∵x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0∴f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值

6、;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.跟踪演练1 点P(2,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,且两条曲线在点P处有相同的切线,求a,b,c的值.解 因为点P(2,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,所以23+2a=0①4b+c=0②由①得a=-4.所以f(x)=x3-4x.又因为两条曲线在点P处有相同的切线,所以f′(2)=g′(2),而由f′(x)=3x2-4得到f′(2)=8,由g′(x)=2bx得到g′(2)=4b,所以8=4b,即b=2,代入②得到c=-8.综上所

7、述,a=-4,b=2,c=-8.题型二 应用导数求函数的单调区间在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增;在区间(a,b)内,如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减.例2 已知函数f(x)=x-+a(2-lnx),a>0.讨论f(x)的单调性.9解 由题知,f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=1+-=.设g(x)=x2-ax+2,二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8.①当Δ<0即0<a<2时,对一切x>0都有f′(x)

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