2017_18学年高中数学第一章导数及其应用章末小结与测评学案

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1、第一章导数及其应用1.导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．3．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．[典例1]　已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(

2、2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.整理得，x＝－8

3、，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝＝，又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1.解得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.∴或即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1

4、)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.[对点训练]1．设函数f(x)＝4x2－lnx＋2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．解：f′(x)＝8x－.所以在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝7，又f(1)＝4＋2＝6，所以切点的坐标为(1,6)．所以切线的方程为y－6＝7(x－1)，即7x－y－1＝0.21借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有lnx，ex，－x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体

5、．[典例2]　设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)由题意知a＝0时，f(x)＝，x∈(0，＋∞)．此时f′(x)＝.可得f′(1)＝，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋＝.当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0

6、，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a<－时，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－0.设x1，x2(x10，所以x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－

7、x)在，21上单调递减，上单调递增．[典例3]　若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．解：函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为