高中数学第三章导数及其应用章末复习学案（含解析）新人教A版

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1、导数及其应用章末复习学习目标　1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题．1．在x＝x0处的导数(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率．2．导函数当x变化时，

2、f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，f′(x)＝y′＝li.3．基本初等函数的导数公式原函数导函数y＝c(c为常数)y′＝0y＝xα(α∈Q*)y′＝αxα－1y＝sinxy′＝cos_xy＝cosxy′＝－sin_xy＝axy′＝axln_a(a>0)y＝exy′＝exy＝logaxy′＝(a>0且a≠1)y＝lnxy′＝4.导数的运算法则和差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)积的导数[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(

3、x)商的导数′＝(g(x)≠0)5.函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．(2)函数的极值与导数①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x0，当x>a时，f′(x)<0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，

4、f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．6．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.类型一　导数几何意义的应用例1　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．(1)求a的值；(2)求f(x)在x＝3处的切线

5、方程．考点　切线方程求解及应用题点　求曲线的切线方程解　(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，∴f′(x)min＝－a2－9，由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去)．故a＝1.(2)由(1)得a＝1.∴f′(x)＝x2＋2x－9，则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，即6x－y－28＝0.反思与感悟　利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则

6、此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．跟踪训练1　已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)A.B．－C．－eD．e考点　切线方程求解及应用题点　根据切点或切线斜率求值答案　D解析　∵y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则∴＝·x0，∴x0＝1，∴k＝e.类型二　函数的单调性与导数例2　已知函数f(x)＝(x2

7、＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)试求f(x)的单调区间．考点　利用导数研究函数的单调性题点　求含参数函数的单调区间解　(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.即曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e，(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，①当－2a＝a－2，即a＝时，f

8、′(x)≥0，∴f(x)在R上单调递增．②当－2a时，则当x∈(－∞，－2a)或x∈(a－2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上为增函数，当x∈(－2a，a－2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2a，a－2)上为减函数．②当－2a>a－2，即a<时，则当x∈(－∞，a－2)或x∈(－2a，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上为增函数．当x∈(a－2，－2a)时，f′(x)<0，f(x)