高中数学 第一章 导数及其应用章末复习学案(含解析)新人教A版选修.doc

《高中数学 第一章 导数及其应用章末复习学案(含解析)新人教A版选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章导数及其应用1．对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限，即＝.函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：(1)判断P点是否在曲线上；(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟

2、记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．4．判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．5．利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的．(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止

3、一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．6．求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1)．(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y＝

4、f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f′(x0)＝0，则f(x0)是函数的最值.题型一　应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．例1　(2013·福建)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝

5、2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x＞0)，∴f(1)＝1，f′(1)＝－1，∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0.①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；∵x∈(0，a)时，f′(x)＜0，x∈

6、(a，＋∞)时，f′(x)＞0∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．跟踪演练1　已知曲线C的方程是y＝x3－3x2＋2x.(1)求曲线在x＝1处的切线方程；(2)若l2：y＝kx，且直线l2与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l2的方程及切点坐标．解　(1)∵y′＝3x2－6x＋2，∴y′

7、x＝1＝3×1－6×1＋2＝－1.∴l1的斜率为－1，且过点(1,0)．∴直线l1的方程为y＝－(x

8、－1)，即l1的方程为x＋y－1＝0.(2)直线l2过原点，则k＝(x0≠0)，由点(x0，y0)在曲线C上，得y0＝x－3x＋2x0，∴＝x－3x0＋2.∵y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3x－6x0＋2.又k＝，∴3x－6x0＋2＝＝x－3x0＋2，整理得2x－3x0＝0.∵x0≠0，∴x0＝，此时y0＝－，k＝－，因此直线l2的方程为y＝－x，切点坐标为.题型二　利用导数求函数的单调区间在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间

9、(a，b)内单调递减．例2　已知函数f(x)＝x－＋a(2－lnx)，a＞0.讨论f(x)的单调性．解　由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝