2019秋高中数学第一章导数及其应用章末复习课（含解析）新人教A版选修2_2

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1、章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．注意区分曲线在点P处的切线与过点P的曲线的切线．2．导数公式与导数的四则运算法则：(1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1中，n∈N＋，若n∈Q且n≠0，则应有x＞0；(2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax－1.还要特别注意(uv)′≠u′v′，()′≠.3．利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题：(1)注意定义域优先原则，必须在函数的定义域内解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)；(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意函数的不连续点或不

2、可导点；(3)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．4．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0，且y＝f(x)在(a，b)内导数f′(x)＝0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数．5．讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论．6．极值与最值的区别和联系：(1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性；(2)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值；(3)可导函数的极值点导数

3、为零，但是导数为零的点不一定是极值点；(4)极值是一个局部概念，极大值不一定比极小值大．7．导数的实际应用：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．8．应用定积分求平面图形的面积时，要特别注意面积值应为正值，故应区分积分值为正和为负的情形．专题一　导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上

4、某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．[例1]　已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．解：(1)因为P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，所以在点P(2，4)处的切线的斜率k＝y′

5、x＝2＝4.所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y－x3＋与过点P(2，4)的切线

6、相切于点A，则切线的斜率k＝y′

7、x＝x0＝x，所以切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.因为点P(2，4)在切线上，所以4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，所以x＋x－4x＋4＝0，所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x1，y1)，则切线的斜率k＝x＝4，得x0＝±2.所以切点为(2，4)，，所以切线方程为y－4＝4(x－2)和y＋＝4(x＋2)，即4x－y－4＝0和12x－3y＋20＝0.归纳升华(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”

8、的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[变式训练]　已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．解：(1)因为f(2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f′(x)＝(x

9、3＋x－16)′＝3x2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，所以直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.又因为直线l过点(0，0)，所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得x＝－8，所以x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l的方程为y＝13x，