2019秋高中数学第二章推理与证明章末复习课（含解析）新人教A版选修2_2

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1、章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．进行类比推理时，可以从以下方面入手进行类比：①问题的外在结构特征；②图形的性质或维数；③处理一类问题的方法；④事物的相似性质等．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想．3．推理证明过程叙述要完整、严谨，逻辑关系清晰、不跳步．4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，而后者结论可能为真也可能为假．合情推理得

2、到的结论的正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据．5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式．6．运用分析法时仅需要寻求结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性.7．应用数学归纳法证明有关自然数n的命题时，第一步验证n取第一个值时，必须注意项数，第二步从n＝k到n＝k＋1的过渡必须注意两点，一是n＝k＋1的证明必须用上归纳假设，二是弄清n＝k与n＝k＋1时命题(等

3、式、不等式、整除等)的变化．专题一　合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，是做出科学发现的重要手段．类比推理是由特殊到特殊的推理，它常以已知的知识作基础，推测出新的结果，具有发现功能．[例1]　(1)观察下列等式：1＝1　　　　　　　　13＝11＋2＝313＋23＝91＋2＋3＝613＋23＋33＝361＋2＋3＋4＝1013＋23＋33＋43＝1001＋2＋3＋4＋5＝1513＋23＋33＋43＋53＝225……可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含

4、有n的代数式表示)．(2)由圆的下列性质类比球的有关性质．①圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦．②与圆心距离相等的两弦相等．③圆的周长c＝πd(d为直径)．④圆的面积S＝d2.解析：(1)由条件可知：13＝12，13＋23＝9＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2，…，不难得出：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝＝.答案：(2)解：圆与球具有下列相似性质(见下表)，与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质．圆球①圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(非轴截面)圆心

5、的连线垂直于截面②与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面圆面积相等③圆的周长c＝πd球的表面积S＝πd2④圆的面积S＝d2球的体积V＝d3归纳升华(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．[变式训练]　(1)有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含四个数{13，15，

6、17，19}；….则观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数的关系式为________．(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则：①a2＋b2＝c2；②cos2A＋cos2B＝1；③Rt△ABC的外接圆半径为r＝.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论．(1)解析：由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.答案：f(n)＝n3(2)解：选取3个侧面两两垂直的四面体作

7、为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝.专题二　演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确．[例2]　已知函数f(x)＝x3.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：

8、f(x)＞0.(1)解：因为2x－1≠0，所以函数f(x)的定义域为{x

9、x≠0}．因为f(－x)－f(x)＝(－x3)－x3＝(－x3)－x3＝x3－x3＝0，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(2)证明：因为x≠0，所以当x＞0时，2x＞1，2