高中数学第二章推理与证明章末复习学案含解析新人教a版选修2

高中数学第二章推理与证明章末复习学案含解析新人教a版选修2

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1、第二章推理与证明1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真,有待进一步证明.2.演绎推理与合情推理不同,是由一般到特殊的推理,是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式,另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性.3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法:综合法是从已知条件推导出结论的证明方法;分析法是由结论追溯到条件的证明方法,在解决数学问题时,常把它们结合起来使用,间接证法的一

2、种方法是反证法,反证法是从结论反面成立出发,推出矛盾的证明方法.4.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时,它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n=n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n=k时,结论成立,推得n=k+1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上,它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.5.归纳、猜想、证明探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型,此类问题未给出问题结论,需要由特殊情况入手,猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题,它的解题思想是:从给出的条件出发,通过观察、试验、归纳、猜想,探索出结论,然后再对归纳、猜想的结论进行证

3、明.题型一 归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理,两种推理的结论“合情”但不一定“合理”,其正确性都有待严格证明.尽管如此,合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时,要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时,可以先从观察入手,发现问题的特点,形成解决问题的初步思路,然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想,最后用逻辑推理方法进行验证.例1 观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=(  )A.28B.76C.123D.199答案 C解析 记an+bn=f(n),则f(3)

4、=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123.跟踪演练1 自然数按下表的规律排列则上起第2007行,左起第2008列的数为(  )A.20072B.20082C.2006×2007D.2007×2008答案 D解析 经观察可得这个自然数表的排列特

5、点:①第一列的每个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第n行的第1个数为n2;②第一行第n个数为(n-1)2+1;③第n行从第1个数至第n个数依次递减1;④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2007行,左起第2008列的数,应是第2008列的第2007个数,即为[(2008-1)2+1]+2006=2007×2008.题型二 直接证明由近三年的高考题可以看出,直接证明的考查中,各种题型均有体现,尤其是解答题,几年来一直是考查证明方法的热点与重点.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题常用的思维方式.如果从解题的切入点的角度细分,直接证明方法可

6、具体分为:比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等,应用综合法证明问题时,必须首先想到从哪里开始起步,分析法就可以帮助我们克服这种困难,在实际证明问题时,应当把分析法和综合法结合起来使用.例2 已知a>0,求证:-≥a+-2.证明 要证-≥a+-2,只需证+2≥a++.∵a>0,故只需证2≥2,即a2++4+4≥a2+2++2+2,从而只需证2≥,只要证4≥2,即a2+≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.跟踪演练2 如图,在四面体B-ACD中,CB=CD,AD⊥BD,且E,F分别是AB,BD的中点,求证:(1)直线EF∥平面ACD;(2)平面EFC⊥平面BCD.证明 (1)要证直

7、线EF∥平面ACD,只需证EF∥AD且EF⊄平面ACD.因为E,F分别是AB,BD的中点,所以EF是△ABD的中位线,所以EF∥AD,所以直线EF∥平面ACD.(2)要证平面EFC⊥平面BCD,只需证BD⊥平面EFC,只需证因为所以EF⊥BD.又因为CB=CD,F为BD的中点,所以CF⊥BD.所以平面EFC⊥平面BCD.题型三 反证法如果一个命题的结论难以直接证明时,可以考虑反证法.通过反设已知条

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