1、第三章 学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( A )A．k1>k2 B．k1k2.2．y＝xα在x＝1处切线方程为y＝－4x，则α的值为( B )A．4 B．－4 C．1 D．－1[解析] y′＝(xα)′＝αxα－1，由条件知，y′
2、
3、x＝1＝α＝－4.3．函数y＝x2cosx的导数为( A )A．y′＝2xcosx－x2sinxB．y′＝2xcosx＋x2sinxC．y′＝x2cosx－2xsinxD．y′＝xcosx－x2sinx[解析] y′＝(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2·(cosx)′＝2xcosx－x2sinx.4．函数y＝12x－x3的单调递增区间为( C )A．(0，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－2,2)D．(2，＋∞)[解析] y′＝12－3x2＝3(4－x2)＝3(2＋x)(2－x)，令y′>0，得－2
4、)＝在x＝e处的切线方程为( A )A．y＝B．y＝eC．y＝xD．y＝x－e＋[解析] f′(x)＝，∴f′(e)＝＝0，∴曲线在x＝e处的切线的斜率k＝0.又切点坐标为(e，)，∴切线方程为y＝.6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( D )A．2B．3C．4D．5[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f′(x)＝0的实数根，∴a＝5.7．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是( C )A．m<0B．m<1C．m≤0D．m≤1[解析] f′(x)＝3mx2－1，由题意知3
5、mx2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m＝0时，－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立；当m≠0时，由题意得m<0，综上可知m≤0.8．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为( C )A．20B．9C．－2D．2[解析] 由题意得y′
6、x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，又点(2，－1)在抛物线上，∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C．9．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是( B )A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－
7、9xD．y＝x3＋6x2－9x[解析] 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，∵函数图象过原点，∴d＝0.f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意得，，即，解得，∴f(x)＝x3－6x2＋9x，故应选B．10．(2016·山西大同高二月考)某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( D )A．30元B．60元C．28000元D．23000元[解析] 设毛利润为L(P)，由题意知L(P)＝PQ－2
8、0Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或－130(舍)．此时L(30)＝23000，因为在P＝30附近的左侧L′(P)>0，右侧L′(P)<0.所以L(30)是极大值也是最大值．11．(2016·山东滕州市高二检测)已知f′(x)是函数f(x)在R上的导函数，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( C )[解析] ∵x＝－2时，f(x)取得极小值，∴在点(－2,0)左侧，f′(x)<0，
9、∴xf′(x)>0，在点(－2,0)右侧f′(x)>0，∴xf′(x)<0，故选C．12．(2016·山西晋城月考)已知f(x)＝x3－3x，过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则实数m的取值范围是( D )A．(－1,1)B．(－2,3)C．(－1,2)D．(－3，－2)[解析] 设切点为(t，t3－3t)，f′(x)＝3x2－3，则切线方程为y＝(3t2－3)(x－t)＋t3－3t，整理得y＝(3t2－3)x－2t3.把A(1，m)代入整理，得2t3－3t2＋m＋3＝0 ①.因为过点A可作三条切线，
