2019_2020学年高中数学第3章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版

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1、第3章圆锥曲线与方程1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

4、F1F2

5、)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹标准方程(以焦点在x轴为例)＋＝1(a>b>0)－＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，无渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个

6、离心率01e＝1准线方程x＝－决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小统一定义圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e2.椭圆的焦点三角形设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S＝b2tan；(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c．3．待定系数法求圆锥曲线标准方程(1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点

7、位置不确定时，要分情况讨论．①可将椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，其中当>时，焦点在x轴上，当<时，焦点在y轴上．②双曲线方程可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，当<0时，焦点在y轴上，当<0时，焦点在x轴上．(2)抛物线的标准方程对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．4．双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．(2)如果双曲线的渐近线为±＝0时，它的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．5

8、．抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F的弦长

9、AB

10、的一个重要结论．(1)y2＝2px(p>0)中，

11、AB

12、＝x1＋x2＋p；(2)y2＝－2px(p>0)中，

13、AB

14、＝－x1－x2＋p；(3)x2＝2py(p>0)中，

15、AB

16、＝y1＋y2＋p；(4)x2＝－2py(p>0)中，

17、AB

18、＝－y1－y2＋p.6．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：①Δ>0⇔直线与圆

19、锥曲线相交于两点；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．提醒：直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．(2)直线l截圆锥曲线所得的弦长

20、AB

21、＝或，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，x1＋x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．圆锥曲线的定义及应用【例1】　(1)F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上

22、任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q，则点Q的轨迹为(　　)A．圆　　　　　　　B．椭圆C．双曲线D．抛物线(2)设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且

23、PF1

24、＞

25、PF2

26、，求的值．[思路探究]　(1)借助角平分线的性质及相关曲线的定义求解；(2)要求的值，可考虑利用椭圆的定义和△PF1F2为直角三角形的条件，求出

27、PF1

28、和

29、PF2

30、的值，但Rt△PF1F2的直角顶点不确定，故需要分类讨论．(1)A　[延长垂线F2Q交F1P的延长线于点A，如图．则△A

31、PF2是等腰三角形，∴

32、PF2

33、＝

34、AP

35、，从而

36、AF1

37、＝

38、AP

39、＋

40、PF1

41、＝

42、PF2

43、＋

44、PF1

45、＝2a.∵O是F1F2的中点，Q是AF2的中点，∴

46、OQ

47、＝

48、AF1

49、＝a.∴Q点的轨迹是以原点O为圆心，半径为a的圆．](2)解：由题意知，a＝3，b＝2，则c2＝a2－b2＝5，即c＝，由椭圆定义知

50、PF1

51、＋

52、PF2

53、＝6，

54、F1F2

55、＝2.①若∠PF2F1为直角，则

56、PF1

57、2＝

58、F1F2

59、2＋

60、PF2

61、2，

62、PF1

63、2－

64、PF2

65、2＝20，即解得

66、PF1

67、＝，

68、PF2

69、＝.所以＝.②若∠F1PF2为直角，则

70、F1F2

71、2＝

72、PF1

73、

74、2＋

75、PF2

76、2.即20＝

77、PF1

78、2＋(6－

79、PF1

80、)2，解得

81、PF1

82、＝4，

83、PF2

84、＝2或

85、PF1

86、＝2，

87、PF2

88、＝4(舍去．)所以＝2.运