2019_2020学年高中数学第2章参数方程章末复习课学案北师大版选修

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1、第2章参数方程[自我校对]①圆的参数方程②椭圆的参数方程③代数法④平摆线的参数方程⑤渐开线的参数方程参数法求动点的轨迹方程满足一定条件的动点所形成的图形即为动点的轨迹，而轨迹方程实际上为轨迹曲线的方程．求轨迹方程是解析几何的主要问题之一，大致分为直接法和间接法两种方法．其中，参数法求轨迹方程是常用的间接法．【例1】　如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为BC，CD上的点，△CPQ的周长为2，(1)求∠PAQ的大小；(2)建立恰当的直角坐标系，试求△APQ的重心的轨迹．[精彩点拨]　(1)利用平面图形的性质，先求tanPAQ再求角；(2)建系后把重心坐标用参数θ(θ＝

2、∠BOP)表示，消参即得轨迹方程．[尝试解答]　(1)设BP＝p，DQ＝q，∠BAP＝α，∠DAQ＝β，其中0＜p＜1,0＜q＜1，α，β∈，则tanα＝p，tanβ＝q，∴tan(α＋β)＝，又(1－p)＋(1－q)＋＝2，∴(1－p)2＋(1－q)2＝(p＋q)2，∴1－pq＝p＋q，∴tan(α＋β)＝1.又0＜α＋β＜，∴α＋β＝，∴∠PAQ＝.(2)以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立直角坐标系，如图．设∠BOP＝θ，由(1)得，∠BOQ＝＋θ，其中0＜θ＜.∴P点的坐标为(1，tanθ)，Q点的坐标为，又设△APQ的重心为G(x，y)，由重心坐标公式得

3、：(θ为参数)，消去参数θ，得y＝.又0＜θ＜，∴0＜tanθ＜1，∴＜x＜，＜y＜，∴△APQ的重心G的轨迹是双曲线xy＝在第一象限内的一部分．1．已知动点P，Q都在曲线C：(β为参数)上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．[解]　(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为(α为参数，0<α<2π)．(2)M点到坐标顶点的距离d＝＝

4、(0<α<2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．直线的参数方程的应用直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．【例2】　已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长．[精彩点拨]　利用直线参数方程中参数的几何意义求解．[尝试解答]　设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，代入方程y2＝4x整理得：t2sin2α＋4(s

5、inα－cosα)t－8＝0.①因为点P(3,2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0，即sinα－cosα＝0.因为0≤α<π，所以α＝，因为

6、AB

7、＝

8、t1－t2

9、＝＝＝8.2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程ρ＝2sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于A，B．若点P的坐标为(3，)，求

10、PA

11、＋

12、PB

13、.[解]　(1)由ρ＝2sinθ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y

14、－)2＝5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(，)，故由上式及t的几何意义得

15、PA

16、＋

17、PB

18、＝

19、t1

20、＋

21、t2

22、＝t1＋t2＝3.圆锥曲线的参数方程椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式．【例3】　椭圆＋＝1上有P，Q两点，O为椭圆中心，OP，OQ

23、的斜率分别为kOP，kOQ，且kOP·kOQ＝－.(1)求

24、OP

25、2＋

26、OQ

27、2的值；(2)求线段PQ中点的轨迹方程．[精彩点拨]　利用椭圆的参数方程设点P(4cosθ1,2sinθ1)，Q(4cosθ1,2sinθ2)，充分利用已知条件建立方程求解．[尝试解答]　(1)设P点的坐标为(4cosθ1,2sinθ1)，Q点的坐标为(4cosθ2,2sinθ2)．∵kOP·kOQ＝－，∴·＝－，∴cos(θ1－θ2)＝0，∴θ1－θ2＝kπ＋(k∈Z)，∴sin2θ1＝cos2θ2，cos2θ1＝sin2θ2，∴

28、OP

29、2＋

30、OQ