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《2019_2020学年高中数学第4章圆与方程章末复习课学案新人教A版必修2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4章圆与方程求圆的方程【例1】 求圆心在圆+y2=2上,且与x轴和直线x=-都相切的圆的方程.[解] 设圆心坐标为(a,b),半径为r,因为圆+y2=2在直线x=-的右侧,且所求的圆与x轴和直线x=-都相切,所以a>-.所以r=a+,r=
2、b
3、.又圆心(a,b)在圆+y2=2上,所以+b2=2,联立解得所以所求圆的方程是+(y-1)2=1,或+(y+1)2=1.1.求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法解题.2.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1
4、)选择圆的方程的某一形式.(2)由题意得a,b,r(或D,E,F)的方程(组).(3)解出a,b,r(或D,E,F).(4)代入圆的方程.1.已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数且与直线4x+3y-29=0相切,求圆的方程.[解] 设圆心为M(m,0)(m∈Z),由于圆与直线4x+3y-29=0相切,且半径为5,所以=5,即
5、4m-29
6、=25,因为m为整数,故m=1,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25.直线与圆的位置关系【例2】 已知直线l:2mx-y-8m-3=0和圆C:x
7、2+y2-6x+12y+20=0.(1)m∈R时,证明l与C总相交;(2)m取何值时,l被C截得的弦长最短,求此弦长.[解] (1)直线的方程可化为y+3=2m(x-4),由点斜式可知,直线过点P(4,-3).由于42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0,所以点P在圆内,故直线l与圆C总相交.(2)如图,当圆心C(3,-6)到直线l的距离最大时,线段AB的长度最短.此时PC⊥l,所以直线l的斜率为-,所以m=-.在△APC中,
8、PC
9、=,
10、AC
11、=r=5,所以
12、AP
13、2=
14、AC
15、
16、2-
17、PC
18、2=25-10=15,所以
19、AP
20、=,所以
21、AB
22、=2,即最短弦长为2.直线与圆位置关系的判断:直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法.一般常用几何法,而不用代数法,因为代数法计算复杂,书写量大,易出错,而几何法较简单.2.已知圆C关于直线x+y+2=0对称,且过点P(-2,2)和原点O.(1)求圆C的方程;(2)相互垂直的两条直线l1,l2都过点A(-1,0),若l1,l2被圆C所截得弦长相等,求此时直线l1的方程.[解] (1)由题意知,直线x+y+2=0过圆C的圆心,设圆
23、心C(a,-a-2).由题意,得(a+2)2+(-a-2-2)2=a2+(-a-2)2,解得a=-2.因为圆心C(-2,0),半径r=2,所以圆C的方程为(x+2)2+y2=4.(2)由题意知,直线l1,l2的斜率存在且不为0,设l1的斜率为k,则l2的斜率为-,所以l1:y=k(x+1),即kx-y+k=0,l2:y=-(x+1),即x+ky+1=0.由题意,得圆心C到直线l1,l2的距离相等,所以=,解得k=±1,所以直线l1的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.圆与圆的位置关系【例3】 已
24、知圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0.(1)证明圆C1与圆C2相切,并求过切点的两圆公切线的方程;(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.[解] (1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式,得(x+2)2+(y-2)2=13,(x-4)2+(y+2)2=13.圆心与半径长分别为C1(-2,2),r1=;C2(4,-2),r2=.因为
25、C1C2
26、==2=r1+r2,所以圆C1与圆C2相切.由得12x-8y-12=0,即3x-2y-3=0,
27、就是过切点的两圆公切线的方程.(2)由圆系方程,可设所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+λ(3x-2y-3)=0.点(2,3)在此圆上,将点坐标代入方程解得λ=.所以所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+(3x-2y-3)=0,即x2+y2+8x-y-9=0.判断两圆位置关系的两种比较方法:(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较,得到两圆位置关系.(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题,转化为方程组解的组数问题,从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系,但这种方法
28、只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系,而不能象几何法一样,能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系.3.已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A,B两点,则线段AB的中垂线方程为________.x+y-3=0 [AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2.又C1(3,0),C2(0,3),所以C1C2所在直线的方程为x+y-3=0.]空间中点的坐标及距离公式的应用【例4】 如图,已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为