2019_2020学年高中数学第4章圆与方程4.1.1圆的标准方程学案新人教A版必修2

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1、4.1.1　圆的标准方程学习目标核心素养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点)2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以圆点O为圆心、半径为r

2、的圆．思考：平面内确定圆的要素是什么？[提示]　圆心坐标和半径．2.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，半径为r.d与r的大小点与圆的位置dr点P在圆外1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)A．(－2，3)，1B．(2，－3)，3C．(－2，3)，D．(2，－3)，D　[由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为.]2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　)A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝B　[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.]3

3、．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定A　[∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．(x＋2)2＋y2＝10　[因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，∴m＝10.即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.]求圆的标准方程【例1】　求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．思路探究：法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根

4、据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程．[解]　法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知解此方程组，得故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a，2－a)．又∵该圆经过A，B两点，∴

5、CA

6、＝

7、CB

8、.∴＝，解得a＝1.∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝

9、CA

10、＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平

11、分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由得即圆心为(1，1)，圆的半径为＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．1．求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；(2)圆心在y轴上，

12、半径为5，且过点(3，－4)；(3)过点P(2，－1)和直线x－y＝1相切，并且圆心在直线y＝－2x上．[解]　(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(3)∵圆心在y＝－2x上，设圆心为(a，－2a)，设圆心到直线x－y－1＝0的距离为r.∴r＝，①又圆过点P(2，－1)，∴r2＝(2－a)2＋(－1＋2a)2，②由①②得或∴圆的标准方程为(x－

13、1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.点与圆的位置关系【例2】　已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．[解]　因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，所以圆的半径r＝＝5，所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.因为

14、P1C

15、＝＝＝2<5，所以P1(－1，0)在圆内；因为

16、P2C

17、＝＝5，所以P2(1，－1)在圆上；因为

18、P3C

19、＝＝6>5，所以P3(3，－