高中数学 2.3 圆的方程 2.3.1 圆的标准方程学案 新人教b版必修2

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1、2.3.1　圆的标准方程1．能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程；能根据圆的标准方程求出圆的圆心和半径，并运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．2．掌握利用待定系数法求圆的标准方程的方法，并能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题．1．圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的______是圆，定点是______，定长是圆的______．设M(x，y)是⊙C上的任意一点，点M在⊙C上的条件是

2、CM

3、＝r.圆的常用几何性质如下：(1)圆心在过切点，且与切线垂直的直线上；(2)圆心必是两弦中垂线的交点；(3)不过圆心的弦，弦心距d，半弦长m及半径r满足r2＝d2＋m2；(

4、4)直径所对的圆周角是90°，即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直．【做一做1】已知圆O的一条弦长为2，且此弦所对圆周角为60°，则该圆的半径为__________．2．圆的方程(1)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为__________．(2)圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为__________．几种特殊形式的圆的标准方程条件方程形式圆心在原点x2＋y2＝r2(r≠0)过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圆心在x轴上且

5、过原点(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)与两坐标轴都相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(

6、a

7、＝

8、b

9、≠0)【做一做2－1】圆心是O(－3,4)，半径为5的圆的方程为(　　)．A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25【做一做2－2】(2010·课标全国卷)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．3

10、．点与圆的位置关系设点P(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则：点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔

11、PC

12、＝r；点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔

13、PC

14、＞r；点P在圆____⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔

15、PC

16、＜r.【做一做3－1】下面各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上的是(　　)．A．(1,1)B．(2,1)C．(0,0)D．(，)【做一做3－2】点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)．A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定圆的图形不是函数的图象剖析：根据函数知识，对于平面

17、直角坐标系中的某一曲线，如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点，那么这条曲线是函数的图象，否则，不是函数的图象．对于平面直角坐标系中的圆，垂直于x轴的直线与其至多有两个交点，因此圆不是函数的图象．但是存在图象是圆弧形状的函数．例如：函数y＝b＋(r＞0)的图象是以(a，b)为圆心，半径为r的位于直线y＝b上方的半圆弧；函数y＝b－(r＞0)的图象是以(a，b)为圆心，半径为r的位于直线y＝b下方的半圆弧．题型一求圆的标准方程【例1】求下列圆的方程．(1)圆心在直线y＝－2x上，且与直线y＝1－x相切于点(2，－1)；(2)圆心C(3,0)，且截直线y＝x＋1所得弦长为4.分

18、析：利用圆的标准方程，把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解．反思：在解决与圆相关的问题时，如果涉及圆心和半径，或者截得的弦长等问题，一般选用圆的标准方程来解题．题型二圆的直径式方程【例2】求经过点P1(4,9)和P2(6,3)，且以P1P2为直径的圆的标准方程．分析：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，圆心为线段P1P2的中点C，半径为

19、CP1

20、.反思：一般地，以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，此结论被称为圆的直径式方程．若本例改为选择题、填空题，可直接得(x－4)(x－6)＋(y－9)(y

21、－3)＝0.题型三求轨迹问题【例3】设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．分析：本题关键是找出点P与定点M及已知动点N之间的联系，再用平行四边形对角线互相平分这一定理解决．反思：(1)如果动点P(x，y)的轨迹依赖于另一动点Q(a，b)的轨迹，而Q(a，b)又在已知曲线上，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便可得动点P的轨迹方程，此法称为相关点法(亦称代入法或转移法或中间