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《高中数学2.3.1圆的标准方程学案新人教B版必修》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.1 圆的标准方程1.能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程;能根据圆的标准方程求出圆的圆心和半径,并运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题.2.掌握利用待定系数法求圆的标准方程的方法,并能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题.1.圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的______是圆,定点是______,定长是圆的______.设M(x,y)是⊙C上的任意一点,点M在⊙C上的条件是
2、CM
3、=r.圆的常用几何性质如下:(1)圆心在过切点,且与切线垂直的直线上;(2)圆心必是两弦中垂线的交点;(3)不过圆心的弦,弦心距d,半弦长m及半径r满足r2=d2+m2;(4)直径所对的圆
4、周角是90°,即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直.【做一做1】已知圆O的一条弦长为2,且此弦所对圆周角为60°,则该圆的半径为__________.2.圆的方程(1)圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为__________.(2)圆心坐标为(a,b),半径为r的圆的标准方程为__________.几种特殊形式的圆的标准方程条件方程形式圆心在原点x2+y2=r2(r≠0)过原点(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2≠0)圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2(r≠0)圆心在y轴上x2+(y-b)2=r2(r≠0)圆心在x轴上且过原点(x-a)2+y2=a2(
5、a≠0)圆心在y轴上且过原点x2+(y-b)2=b2(b≠0)与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)与两坐标轴都相切(x-a)2+(y-b)2=a2(
6、a
7、=
8、b
9、≠0)【做一做2-1】圆心是O(-3,4),半径为5的圆的方程为( ).A.(x-3)2+(y+4)2=5B.(x-3)2+(y+4)2=25C.(x+3)2+(y-4)2=5D.(x+3)2+(y-4)2=25【做一做2-2】(2010·课标全国卷)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为________.3.点与圆的位置关系设点P(x0,y0)和圆C:(
10、x-a)2+(y-b)2=r2,则:点P在圆____⇔(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔
11、PC
12、=r;点P在圆____⇔(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔
13、PC
14、>r;点P在圆____⇔(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔
15、PC
16、<r.【做一做3-1】下面各点在圆(x-1)2+(y-1)2=2上的是( ).A.(1,1)B.(2,1)C.(0,0)D.(,)【做一做3-2】点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( ).A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定圆的图形不是函数的图象剖析:根据函数知识,对于平面直角坐标系中的某一曲线,如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交
17、点,那么这条曲线是函数的图象,否则,不是函数的图象.对于平面直角坐标系中的圆,垂直于x轴的直线与其至多有两个交点,因此圆不是函数的图象.但是存在图象是圆弧形状的函数.例如:函数y=b+(r>0)的图象是以(a,b)为圆心,半径为r的位于直线y=b上方的半圆弧;函数y=b-(r>0)的图象是以(a,b)为圆心,半径为r的位于直线y=b下方的半圆弧.题型一求圆的标准方程【例1】求下列圆的方程.(1)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切于点(2,-1);(2)圆心C(3,0),且截直线y=x+1所得弦长为4.分析:利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解.反思:在解决与圆
18、相关的问题时,如果涉及圆心和半径,或者截得的弦长等问题,一般选用圆的标准方程来解题.题型二圆的直径式方程【例2】求经过点P1(4,9)和P2(6,3),且以P1P2为直径的圆的标准方程.分析:从确定圆的条件考虑,需要求圆心和半径,圆心为线段P1P2的中点C,半径为
19、CP1
20、.反思:一般地,以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径两端点的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,此结论被称为圆的直径式方程.若本例改为选择题、填空题,可直接得(x-4)(x-6)+(y-9)(y-3)=0.题型三求轨迹问题【例3】设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM
21、,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.分析:本题关键是找出点P与定点M及已知动点N之间的联系,再用平行四边形对角线互相平分这一定理解决.反思:(1)如果动点P(x,y)的轨迹依赖于另一动点Q(a,b)的轨迹,而Q(a,b)又在已知曲线上,则可先列出关于x,y,a,b的方程组,利用x,y表示出a,b,把a,b代入已知曲线方程便可得动点P的轨迹方程,此法称为相关点法(亦称代入法或转移法或中间