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《高中数学 2.3 圆的方程 2.3.1 圆的标准方程 2.3.2 圆的一般方程例题与探究 新人教b版必修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程典题精讲例1求过三点A(1,12)、B(7,10)、C(-9,2)的圆的方程,并求出圆的圆心与半径,作出图形.思路分析:因为圆过三个定点,故可以设圆的一般式方程来求圆的方程.解：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意有图2-3-(1,2)-1解得D=-2,E=-4,F=-95.于是所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是,圆的圆心D的坐标为(1,2),半径为10,图形如图2-3
2、-(1,2)-1所示.绿色通道：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的条件,由待定系数法求出圆的一般式方程,并由此讨论圆的几何性质.对于由一般式给出的圆的方程,研究其几何性质(圆心与半径等)时,常可用配方法或公式法加以求解.变式训练1已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为()A.(x+1)2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+(y+1)2=1D.x2+(y-1)2=1思路解析:求出圆心(1,0)关于直线y=-x的对称点为(0,-
3、1),得到圆C的圆心.故选C.答案：C例2求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切于点(2,-1)；(2)圆心为C(0,3),且截直线y=x+1所得弦长为4.思路分析:利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解.解：(1)设圆心(a,-2a),圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=r2.由解得∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)设圆的方程为(x-3)2+y2=r2,利用点到直线的距离公式可以求得d==,再根据垂径定理可知r=.∴所求圆的方
4、程为(x-3)2+y2=12.绿色通道：在解决与圆相关的问题时,如果涉及到圆心和半径,或者截得的弦长等问题,一般选用圆的标准方程来解题.变式训练2已知圆的半径为,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为,求圆的方程.解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由圆心在直线y=2x上,得b=2a.①由圆被直线x-y=0截得的弦长为,将y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10,整理得2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0.由弦长公式得.化简得a-b=±2.②解①②得a=2,b=4
5、或a=-2,b=-4,∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.例3如图2-3-(1,2)-2所示,已知圆的内接四边形ABCD中两对角线AC、BD互相垂直,垂足为E,又F是BC的中点,试用坐标法证明EF⊥AD.图2-3-(1,2)-2思路分析:题中两对角线互相垂直,不妨就选它们为坐标轴,此时四个顶点的坐标表示较为简捷.证明：建立如图2.3(1.2)2所示的直角坐标系xOy,并设A、B、C、D的坐标分别为(0,-a),(b,0),(0,c),(-d,0)(a、b
6、、c、d＞0).于是BC中点F的坐标为(,),故kEF=.又kAD=,故kEF·kAD=.由圆的相交弦定理得AE·EC=DE·EB,即ac=bd.∴kEF·kAD=-1.∴EF⊥AD.黑色陷阱：用坐标法处理平面几何问题的关键是建立好坐标系,此题若不以两对角线为坐标轴,处理起来相当麻烦.在建立坐标系时,要使尽量多的点落在坐标轴上,或利用图中现有的垂直关系.变式训练3在△AOB中,OB=3,OA=4,AB=5,点P是△AOB内切圆上的点,求PA2+PB2+PC2的最大值与最小值.图2-3-(1,2)-3解
7、：如图2-3-(1,2)-3建立直角坐标系,使A、B、O三点坐标分别为(4,0)、(0,3)、(0,0).设内切圆半径为r,则有2r+AB=OA+OB,∴r=1.故内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1.化为x2+y2-2x-2y+1=0,①设点P(x,y),又∵PA2+PB2+PC2=3x2+3y2-8x-6y+25,②由①知x2+y2-2y=2x-1,代入②得PA2+PB2+PC2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.∵x∈[0,2],∴PA2+PB2+PC2最大值为22,最小值为18.
8、例4判断下列方程是否表示圆，如果是,求出圆心和半径；如果不是,请说明理由.(1)x2+y2+4x-2y+12=0；(2)x2+y2-11x+3y-30=0；(3)3x2+2y2+3x-3y+5=0.思路解析:本题首先要观察各题目二次项系数是否相等,判定方程是否满足表示圆的条件,再依据公式得出圆心和半径.答案：(1)x2+y2+4x-2y+12=0可以转化为(x+2)2+(y-1)2=-7,所以该方程不是圆的方程.(2)在x2+y2-11x+3y-30=0
