高中数学 2.3 圆的方程 2.3.2 圆的一般方程学案 新人教b版必修2

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1、2.3.2　圆的一般方程1．掌握圆的一般方程及其特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径；能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；能将圆的标准方程转化为圆的一般方程．2．理解圆的一般方程的结构，掌握利用待定系数法求圆的一般方程的方法．3．了解一般二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件．1．圆的一般方程圆的一般方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，限制条件是__________．【做一做1－1】下列方程中表示圆的是(　　)．A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0C．x2＋2y2－2x＋4y＋3＝0D．x2＋y2＋4x－6y

2、＋9＝02．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0________不表示任何图形________表示一个点，点的坐标为________D2＋E2－4F＞0表示以__________为圆心，以__________为半径的圆二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆必须具备以下两个条件：①A＝C≠0，B＝0；②D2＋E2－4AF＞0.【做一做2－1】若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m满足的条件是(　　)．A．m＜B．m＜10C．m＞D．m≤【做一做2－2】已知圆x2－4x－4＋y2＝0的圆心是点P，则点P到直线

3、x－y－1＝0的距离是__________．【做一做2－3】方程x3＋xy2－2x2＋2xy＋2x＝0表示的图形是__________．1．求圆关于一个点或一条直线对称的圆的方程的问题剖析：要求圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2关于点P(x0，y0)对称的圆的方程，首先找圆心C(a，b)关于点P(x0，y0)的对称点，得到对称圆的圆心，半径不变．如：求圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点对称的圆的方程．因为已知圆的圆心是(－2,0)，它关于原点的对称点是(2,0)，所以所求的圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.同理求圆关于直线mx＋ny＋p＝0对称的圆的方程，只需求圆心关于直线的对称点．如：已知

4、圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，求圆C的方程，我们可以通过设圆心(1,0)关于y＝－x对称的点为(a，b)，则得所以所求圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1.2．圆的标准方程与一般方程的比较剖析：(1)圆的标准方程，需要确定圆心的坐标和圆的半径；而圆的一般方程，则需要确定一般方程中的三个系数D，E，F.圆的一般方程也含有三个参变量，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆．(2)圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径，而圆的一般方程表明了方程形式上的特点．题型一求圆的一般方程【例1】求经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的一般方程．分析：本题

5、考查圆的方程的同时，也考查了弦长公式，应注意根与系数的关系所涉及的x1x2，x1＋x2与x1－x2的关系．反思：用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择：一般地，已知圆上三点时用一般方程；已知圆心或半径时，用标准方程．题型二圆的方程中参数范围问题【例2】已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．分析：明确圆的一般方程成立的条件，圆面积仅与半径有关，而点在圆内则给出了t满足的不等关系．反思：本题考查二元二次方程表示圆的条件，同时考查点

6、与圆的位置关系的判定方法及两种形式互化问题．题型三求圆关于点(线)对称的圆【例3】试求圆C：x2＋y2－x＋2y＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称的曲线C′的方程．分析：对称圆的圆心坐标变化、半径不变，另外可利用相关点法来求．反思：圆关于点(线)对称的圆的大小不变，即半径不变，改变的只是圆的位置即圆心位置，所以只需求出已知圆的圆心关于对称点(线)对称的点即为所求圆的圆心，就能确定对称圆的方程．题型四易错辨析【例4】已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．错解：设M(x，y)是所求轨迹上的任意一点，圆的方程可化为(x－3)2＋(

7、y－3)2＝4，圆心C(3,3)．∵CM⊥AM，∴kCMkAM＝－1，即·＝－1，整理得x2＋(y＋1)2＝25.∴所求动点M的轨迹方程是x2＋(y＋1)2＝25.错因分析：忽视了动点一定在已知圆内这个大前提，因此求出轨迹方程后，要有检验意识．1若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值是(　　)．A．－1B．2C．－1或2D．12过点P(－2,1)且被圆C：x2＋y2－2x－