2.3.2《圆的一般方程》教案(新人教B必修2)

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1、圆的一般方程【情景导入】师：上一节我们学习了圆的标准方程请同学们说出以点(a，b)为圆心且半径是r的圆的标准方程．生：(x-a)2+(y-b)2=r2．【引导】师：前面我们学习过直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式,我们知道前四种方程形式不能表示所示的直线，而一般式方程能表示所有的直线它的方程形式是Ax+By+C=0吗？生：不是还缺少条件A2+B2≠0．师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？这个一般方程要表示所在圆的方程有没有和直线的一般方程类似的限制条件呢？这就是这一节我们将要学习的直线的一般方程。（书写课题圆

2、的一般方程）新知探究（一）【引导】师：圆是否有一般方程？对于这个知识的探求我们可以从我们认识和研究一般问题的思维方法入手，我们知道我们对于一个新的问题的学习和研究常常按照由特殊到一般的思路来解决的．如探求直线方程的一般形式就是通过把直线方程的特殊形式如点斜式，两点式……，展开整理而得到的．运用这种思路请同学们研究一下圆的一般方程的表达式是什么？生：思考并讨论。回想直线一般方程的推导过程并仿照直线方程把标准形式展开并整理。师:（多媒体投影）已知圆的标准方程将标准方程展开得：．令，此时原方程变为．(*)【师生互动】师：方程是由圆的标准方程得到的，通过对圆的标

3、准方程的学习我们知道任意一个圆的方程都可以用圆的标准方程表示，也就是说只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？生：观察并分析方程x2+y2+Dx+Ey+F=0产生过程，并与同桌一起讨论并探究。师：巡视指导，并根据学生的实际情况及时点拔，以使学生形成正确的思路，如：“为什么直线的一般方程必须加条件A2+B2≠0？”“圆的标准方程展开后方程的形式是x2+y2+Dx+Ey+F=0，是否说明方程x2+y2+Dx+Ey+F=0反过来一定能表示成圆的标准方程的形式？”生：不一定．还得考虑：x2+y2+Dx+E

4、y+F=0能否写成标准形式．也可以像直线方程一样，要有一定条件．师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？生：配方．师：请大家动手做，看看能否配成标准形式？生：分小组展开讨论，并由小组长进行总结。师：（多媒体投影）(*)按圆的标准方程的形式进行配方得（1）（1）当D2+E2-4F＞0时，比较(1)式和圆的标准方程知：(*)式表示以为圆心以为半径的圆。（2）当时，(*)式只有一个实数解，故此时方程表示一个点（3）当D2+E2-4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．故当D2+E2-4F＞0时，我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程．【师

5、生互动】师：由刚才的学习我们知道圆的一般方程是一个关于x、y的二元二次方程，那么关于x、y的二元二次方程一定表示圆吗？若不一定那么方程还应满足的条件是什么？生：观察投影并讨论。师：巡视指导，可加入到学生的讨论中去，为加深学生对知识的理解可及时正反例加以说明。生：不一定，它是关于x、y的特殊的二元二次方程．它的特殊体现在两个方面：1．x2，y2系数相同，且不等于零．2．没有xy这样的二次项．点拔：（多媒体投影）师：关于x、y的二元二次方程表示圆的条件是：A＝B，C＝0，师：下面我们通过具体题目来巩固和加深我们对圆的一般方程的理解。（多媒体投影）例1．判断以

6、下方程是否是圆的方程，若是求出它的圆心及半径。若不是它们分别表示何图形？　．　　学生演算并回答（1）表示点（0，0）；（2）配方得，表示以为圆心，3为半径的圆（3）配方得，当、同时为0时，表示原点（0，0）；当、不同时为0时，表示以为圆心,为半径的圆．【点拨】师：根据圆的一般方程来确定圆的圆心及半径一般不要死记公式，通常采用配方的方法来求解，配方法是解决圆的有关问题常用的方法。圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各优点，标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方

7、程中找出圆的方程．（多媒体投影）例2求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.【引导】师:根据已知条件求满足条件的圆的方程常采用待定系数法，此时我们学习了圆的两种方程形式：标准方程和一般方程，请同学们用这两种方程形式分别确定圆的方程，并比较采哪一种形式比较好？生：分别用方程的两种形式解答。（多媒体投影）师：法一：设圆的标准方程为，据题意知三点均在圆上故有解此方程组有a=4,b=－3,故圆的方程为法二：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解，把它们的坐标代入

8、方程得到一个关于D、E、F的一个三元一次方程组：解之得D＝－8，E＝6，F＝0，