《圆的一般方程》教案7（新人教B版必修2）

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1、圆的一般方程教学目标:1.圆的一般方程及一般方程的特点；2.圆的一般方程和标准方程的互化；3.待定系数法求圆的方程；4.数形结合思想，方程思想，分析和解决问题的能力。教学重点：圆的一般方程及特点。教学难点：圆的一般方程的特点及待定系数法求圆的方程。教学过程：一.复习引入1.前面我们已经学习了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r29圆心(a,b)，半径r。问题1：确定一个圆，有哪些方法？①圆心，半径；②过不在同一直线上三点。问题2：求过三点O(0,0)M,(l,l),M2(4,2)的圆的方程。生：可以求圆心和半径，再写出圆的方程。师：对，但是比较麻烦，是否还有更简单的方法呢

2、？圆的方程是否还有其他的形式呢？本节课我们就来学习圆的一般方程。首先请同学们解决下列问题：练习1：试判断下列方程分别表示什么图形？⑴兀2+y2+2兀+2y+1=0(2)才+)，+2卄2)，+2=0(3)x2+y2+2x4-2y+3=0(学生一般会用配方法进行判断，通过学生相互之间的补充完成。)二.新课1.问题2：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？(创设一种鼓励的宽松的氛围，让学生充分发表自己的观点，教师适当引导，如D2+E2-4F=O时如何？D2+E2-4F>0时如何？)配方得/D、，/E、、P2+£2-4F224(1)当D+e2_4f>o时，方程表示以D_E为圆

3、心，_L佰+茨_4尸为半径2，22的圆；(2)当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解r=_2丫=丄，所以表示一个点2°"2⑶当b+E—4FvO时，方程没有实数解，因而方程不表示任何图形。板书：圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0)指出：①圆心(_2_占)，半径+E亍-4F，2’22②标准方程的优点在于它明确指出了圆心及半径，而一般方程突出了形式上的特点。2・练习2：下列方程各表示什么图形？(I)%2+)2=0(2)兀2+y2_2兀+4y_6=0(3)兀2+y2+2血_，=0(4)尢2+2y2+4y_8=0学生练习并回答：⑴点(0,0)；(2)

4、圆；圆心(1,-2)半径(1)(x+a)2+b=/+，，当qhO或bHO时表示圆，圆心(-a,0)半径如+，；当a—0H/?=0时表示点(0,0)o(2)不是圆。问题3：能否通过改变(4)中方程的系数，使之成为圆的方程？怎么改？学生分析各种可能性，并得出结论：兀2,)，的系数相等且不等于0。问题4：二元二次方程Ar2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=()表示圆的方程必须具备哪些条件？引导学生对比圆的一般方程的系数，得出下列3种结论：(1)/丿2的系数相等且不等于°,(2)没有xy这样的项，(3)D2+E2-4AF>QO3练习2：求下列各圆的半径和圆心坐标，并画出图形：(1)x2

5、+y2-6x=0；(2)/+)，+2外=0(bH0)；(3)x2+y2+2ax一2^/3y+3tz2=0(°丰0)・学生练习得出答案：(1)r=3,圆心(3,0)(2)r=

6、/?

7、心(0,—b)(3)r=a,圆心问题5：观察图形，你能发现什么？(学生思考，相互讨论，教师引导发现。)(1)是与y轴相切于原点的圆；(2)是与x轴相切于原点的圆；(3)是与y轴相切且圆心在直线y=无上的圆。问题6：①若圆x2+y2+Qx+Ey+F=0与y轴相切于原点，则D、E、F应满足什么条件？②若圆与y轴相切呢？学生讨论，各抒己见，相互补充，完善结论：①E=O,F=O,DHO;②E2=4F,DhO

8、・我们还可以继续探究：如当圆①与x轴相切；②过原点；③原点在圆内；……等情况时,系数D、E、F应满足的条件。(若时间不够，则作为课外作业)圆的一般方程体现了方程形式上的特点，而标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径,两种方程屮都有3个变量，根据这一特点，求圆的方程，需要3个独立的条件，请看下题:4例1求过三点O(0,0)M,(l,l),M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标。解：(法1)设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、Fo因为在圆上所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标依次代入上面的方程,得到关于D、E、F的

9、三元一次方程组F=0<£>+E+F+2=04D+2E+F+20=0解这个方程组，得F=0,D=・8,E=6•于是得到所求的圆的方程%2+才一8兀+6)，=0由前面的讨论可知，所求圆的半径r=-a/d2+E2-4F=5,0心坐标是(4,一3)。2(法2)：设圆的方程为(x-a)2+(y-by=r因为在圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标依次代入上面的方程,得到关于D、E、F的三元二次方程组”a2+b2=r2<(l-a)2+(l-b)2=r2(2-6Z)2+(4-Z?)2=r2解方程得a