2019_2020学年高中数学第1章推理与证明章末复习课学案北师大版

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1、第1章推理与证明归纳推理【例1】　(1)观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……，由此可归纳出的式子为(　　)A．1＋＋＋…＋

2、由各式特点，可得1＋＋＋…＋<.故选C.(2)用两点等分单位圆时，关系为sinα＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sinα＋sin＋sin＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有－＝－α＝.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为＋α＝＋α，第三个角为＋α＋＝π＋α，第四个角为π＋α＋＝＋α，即其关系为sinα＋sin＋sin(α＋π)＋sin

3、＝0.]归纳推理的特点及一般步骤1．已知函数y＝sin4x＋cos4x(x∈R)的值域是，则(1)函数y＝sin6x＋cos6x(x∈R)的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y＝sin2nx＋cos2nx(n∈N＋)的值域是__________．(1)　(2)[21－n,1]　[(1)y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2xcos2x＋cos4x)＝sin4x－sin2xcos2x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－3sin2xcos2x＝1－sin2(2x)＝1－(1－cos4x)＝＋

4、cos4x∈.(2)由类比可知，y＝sin2nx＋cos2nx的值域是[21－n,1]．]类比推理【例2】　类比三角形内角平分线定理：设△ABC的内角A的平分线交BC于点M，则＝.若在四面体PABC中，二面角BPAC的平分面PAD交BC于点D，你可得到什么结论？并加以证明．思路探究：此题是平面图形与立体图形作类比，因为平面图形中得出的结论是线段的比，所以立体图形中可想到面积的比．[解]　画出相应图形，如图所示．由题意类比推理所探索结论为＝.证明如下：由于平面PAD是二面角BPAC的平分面，所以点D到平面BPA与它到平面CPA的距离相等．所以＝.①又因

5、为＝＝，②由①②知＝成立．类比推理的特点及一般步骤2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，则在立体几何中，给出四面体相应结论的猜想．[解]　直角三角形类比三个侧面两两垂直的四面体；直角三角形的两个锐角类比上述四面体的三个侧面与底面所成的角，分别设为α，β，γ；类比直角三角形中相应的结论猜想cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1．综合法与分析法【例3】　设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.试用综合法和分析法分别证明．思路探究：(1)综合法：根据a＋b＝1，分别求＋与的最小值．(2)分析法：把变形为＝＋求证．[证明]

6、　法一：(综合法)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4.又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．法二：(分析法)∵a>0，b>0，a＋b＝1，要证＋＋≥8，只要证＋≥8，只要证＋≥8，即证＋≥4，也就是证＋≥4，即证＋≥2，由基本不等式可知，当a>0，b>0时，＋≥2成立，所以原不等式成立．分析法和综合法的证明特点1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．2．分析法和综合法是

7、两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．3．(1)已知a，b，c为互不相等的非负数，求证：a2＋b2＋c2>(＋＋)．(2)用分析法证明：2cos(α－β)－＝.[证明]　(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“＝”，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，因为ab＋b

8、c≥2，bc＋ac≥2，ab＋ac≥2，又a，b，c为互不相等的非负数，所以ab＋bc＋ac>(＋＋)，所以