2019_2020学年高中数学第2章推理与证明章末复习课学案新人教B版选修1_2

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1、第2章推理与证明归纳推理1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想)．2．在应用归纳推理时，首先要观察部分对象的整体特征，然后分析所观察对象中哪些元素是不变的，哪些元素是变化的，并将变化的量的变化规律表达出来．【例1】　如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是________．[思路探究]　列出每行实心圆点的个数，从中归纳出变化规律，然后运用此规律求第11行实心圆点的个数．[解]

2、　前6行中实心圆点的个数依次为：0,1,1,2,3,5，据此猜想这个数列的规律为：从第3项起，每一项都等于它前面两项的和，故续写这个数列到第11行如下：8,13,21,34,55，所以第11行的实心圆点的个数是55.[答案]　551．记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1,2,3，…时，观察下列等式：S1＝n2＋n，S2＝n3＋n2＋n，S3＝n4＋n3＋n2，S4＝n5＋n4＋n3－n，S5＝An6＋n5＋n4＋Bn2，…可以推测，A－B＝________.[解析]　由S1，S2，S3，S4各项系数知，A＝，A＋＋＋B＝1，于是B＝－，所以A－B＝＋＝.[答案]　类比

3、推理1.类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．2．平面图形与空间图形类比．平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三角形四面体【例2】　已知图①有面积关系：＝.(1)试用类比的思想写出由图②所得的体积关系＝______________________.(2)证明你的结论是正确的．[思路探究]　由面积关系，类比推测＝，然后由体积公式证明．[解]　(1)＝.(2)过A作AO⊥平面PBC于O，连接PO(图略)，则A′在平面PBC内的射影O′落在PO上，从

4、而＝＝＝，∵＝，∴＝.2．在△ABC中，若AB⊥AC，AD⊥BC于D，则＝＋.在四面体ABCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则类似的结论是什么？并说明理由．[解]　类似的结论是：如图，在四面体ABCD中，若AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H，则＝＋＋.证明如下：连接BH并延长交CD于E，连接AE.∵AB，AC，AD两两垂直，∴AB⊥平面ACD.又∵AE⊂平面ACD，∴AB⊥AE.在Rt△ABE中，有＝＋.①又易证CD⊥AE，在Rt△ACD中，＝＋.②将②代入①得＝＋＋.演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论．演绎

5、推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确．【例3】　已知平面α∥平面β，直线l⊥α，l∩α＝A，如图所示，求证：l⊥β.[思路探究]　分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法证明．[解]　在平面β内任取一条直线b，平面γ是经过点A与直线b的平面．设γ∩α＝a.①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，(大前提)α∥β，且α∩γ＝a，β∩γ＝b，(小前提)所以a∥b.(结论)②如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，(大前提)且l⊥α，a⊂α，(小前提)所以l⊥a.(结论)③如果一条直线和两条平行线中的

6、一条垂直，那么它也与另一条垂直，(大前提)a∥b，且l⊥a，(小前提)所以l⊥b.(结论)④如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直，(大前提)因为l⊥b，且直线b是平面β内的任意一条直线，(小前提)所以l⊥β.(结论)3．如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD的中点．求证：MN∥平面BCD(写出大前提，小前提，结论)[证明]　①三角形中位线平行于底边，(大前提)∵M，N分别为AB与AD的中点，∴MN为△ABD的中位线．(小前提)∴MN∥BD.(结论)②平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，(大前提)∵MN

7、平面BCD，BD⊂平面BCD，MN∥BD，(小前提)∴MN∥平面BCD.(结论)直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用．【例4】　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称．求证