2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教B版选修1_2

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1、2.1.1　合情推理学习目标核心素养1．了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理．(重点、易混点)2．能用归纳和类比进行简单的推理．(难点)3．了解合情推理在数学发现中的作用.通过本节学习，培养学生的逻辑推理素养.一、归纳推理和类比推理1．归纳推理2．类比推理二、合情推理1．含义前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．2．合情推理的过程→→→1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和

2、是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理．(　　)(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．(　　)(3)归纳推理是由特殊到一般的推理．(　　)[解析]　(1)错误．它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理．(2)错误．类比推理不一定正确．(3)正确．由特殊到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理．[答案]　(1)×　(2)×　(3)√2．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　

3、　)A．an＝3n－1　　　B．an＝4n－3C．an＝n2D．an＝3n－1[解析]　a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16…猜想an＝n2.[答案]　C3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号)．①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．[解析]　正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类

4、比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．[答案]　①②③归纳推理【例1】　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，则a2017等于(　　)A．2　B．－　　　C．－2　　　D．1(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．[解析]　(1)a1＝1，a2＝－，a3＝－2，a4＝1，…，数列{an}是周期为3的数列，2017＝672×3＋1，∴a2017＝a1＝1.(2)分别求出前4个图形中线段的数

5、目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.[答案]　(1)D　(2)5091．由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．2．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或

6、空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：1．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　)A．26　B．31　　　C．32　　　D．36(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．[解析]　(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123

7、…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.[答

8、案]　(1)B　(2)28类比推理在几何中的应用【例2】　如图所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，可以得到结论＋＋＝1.证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．[思路探究]　三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解]　＝＝，同理，＝，＝.∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，∴＋＋＝＝1.类比上述结论得出以下结论