高中数学推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理学案新人教a版

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1、2．1.1　合情推理学习目标　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一　归纳推理思考　(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案　属于归纳推理．梳理　(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．知识点二　类比推理思考　科学

2、家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案　类比推理．梳理　(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．(2)特征：由特殊到特殊的推理．知识点三　合情推理思考　归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案　区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比

3、推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．梳理　(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理．(2)推理的过程―→―→―→1．类比推理得到的结论可作为定理应用．(　×　)2．由个别到一般的推理为归纳推理．(　√　)3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　×　)类型一　归纳推理例1　(1)观察下列等式：1＋

4、1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为_____________________________________________________．(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．考点　归纳推理的应用题点　归纳推理在数对(组)中的应用答案　(1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2

5、n×1×3×…×(2n－1)(2)　解析　(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．(2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，∴根据前几项可以猜想fn(x)＝.引申探究　在本例(2)中，若把“fn(x)＝f

6、n－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x)(n∈N*)的表达式．解　∵f(x)＝，∴f1(x)＝.又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，∴f2(x)＝f(f1(x))＝＝，f3(x)＝f(f2(x))＝＝，f4(x)＝f(f3(x))＝＝.因此，可以猜想fn(x)＝.反思与感悟　(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运

7、用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．跟踪训练1　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，满足Sn＝6－2an＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想an的表达式．考点　归纳推理的应用题点　归纳推理在数列中的应用解　(1)因为a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)，所以S1＝6－2a2＝a1

8、＝3，解得a2＝，又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋，解得a3＝，又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋＋，解得a4＝.(2)由(1)知a1＝3＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，…，猜想an＝(n∈N*)．例2　有两种花色的正六边形地面砖，按