高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课堂导学案苏教版选修1_2

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1、2018年苏教版高中数学选修1-2课堂导学案2.1.1合情推理课堂导学三点剖析各个击破一、运用归纳推理发现新事实,获得新结论【例1】在平面内观察,凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线……由此猜想凸n边形有几条对角线?解：凸四边形有2条对角线;凸五边形有5条对角线,比凸四边形多3条;凸六边形有9条对角线,比凸五边形多4条……于是猜想凸n边形的对角线条数为比凸n-1边形的n-2条对角线.由此凸n边形对角线条数为2+3+4+5+…+(n-2)=n(n-3)(n≥4,n∈N*).温馨提示归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,是人们在日常活动

2、和科学学习研究中经常使用的一种推理方法,必须认真学习领会.在归纳推理的过程中,应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系,如本例中随多边形边数及对角线条数的共变现象作定量观察分析,才能发现其对角线条数的增加规律.类题演练　1意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题:假定每对大兔子每月能生一对小兔子,而每对小兔子过了一个月就可长成大兔子,如果不发生死亡,那么由一对大兔子开始,一年后能有多少对大兔子呢?我们依次给出各个月的大兔子对数,并一直推算下去到无尽的月数,可得数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,23

3、3,….这就是斐波那契数列,此数列中a1=a2=1,你能归纳出,当n≥3时,an的递推关系吗?解：从第3项开始，逐项观察分析每项与其前面几项的关系易得：从第3项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*).变式提升　1数列{an}中,a1=2,an+1=,n∈N*,依次计算a2;a3;a4;并归纳猜想出an的表达.解：a2=，a3=,a4=,故an=.二、运用类比推理揭示事物相似(相同)的性质32018年苏教版高中数学选修1-2课堂导学案【例2】类比实数的加法和向量的加法,列出它们相似的运算性质.解：(1)两实数相加后,结果是一个

4、实数,两向量相加后,结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律.即a+b=b+a;　a+b=b+a.(a+b)+c=a+(b+c);(a+b)+c=a+(b+c).(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算.a+x=0与a+x=0都有唯一解,x=-a与x=-a.(4)在实数加法中,任意实数与0相加都不改变大小,即a+0=a.在向量加法中,任意向量与零向量相加,既不改变该向量的大小,亦不改变该向量的方向,即a+0=a.温馨提示类比是对知识进行理线串点的好方法,在平时的数学学习与复习时,常常以一两个对象为中心,把与它有类比关系的对象归纳

5、整理成一张图表,便于记忆与运用.在数学中,我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识、方法、规律出发,通过类比，从中得到启发与灵感,从而提出新问题、作出新发现和找到新方法.类题演练2类比圆的下列特征,找出球的相关特征.(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;(2)平面内不共线的3个点确定一个圆;(3)圆的周长与面积可求;(4)在平面直角坐标系中,以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2.解：（1）在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球；（2）空间中不共面的4个点确定一个球；（3）球有面积与体积；（4）在空间直角坐标系中，

6、以点（x0,y0,z0）为球心，r为半径的球的方程为（x-x0）2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.变式提升　2从大小正方形的数量关系上,观察如下图所示的几何图形,试归纳得出的结论.解：从大、小正方形的数量关系上容易发现1=12,1+3=2×2=22,1+3+5=3×3=32,1+3+5+7=4×4=42,1+3+5+7+9=5×5=52,1+3+5+7+9+11=6×6=62,观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.三、合情推理应用举例32018年苏教版高中数学选修1-2课堂导学案【例3】20世纪60年代,数学家角谷发现了

7、一个奇怪现象:一个自然数,如果它是偶数就用2除它;如果是奇数,则将它乘以3后再加1,反复进行这样两种运算,会得到什么结果?试考察几个数并给出猜想.解：取自然数6,按角谷的作法有:6÷2=3,3×3+1=10,10÷2=5,3×5+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1.其过程简记为6→3→10→5→16→8→4→2→1.取自然数7,则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→…→1.取自然数100,则有100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→11→…→1.归纳猜想:这样反复计算,