2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理讲义新人教B版

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1、2.1.1　合情推理学习目标核心素养1．了解推理的结构及合情推理的定义．(易混点)2．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．(重点)　3．了解类比推理的定义与特点，掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．(重点、难点)通过归纳推理和类比推理学习，培养学生的逻辑推理素养.一、推理与合情推理1．推理的定义根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．2．推理的结构推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．3．推理的分类推理一般分为合情推理与演绎推理．4．合情推理前

2、提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理．二、归纳推理与类比推理1．归纳推理(1)定义根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)．(2)归纳推理的一般步骤①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．2．类比推理(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)．它属于合情推理．(2)类比推理的一般步骤①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个

3、明确的命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．(　　)(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．(　　)(3)归纳推理是由个别到一般的推理．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√2．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到(　　)A．空间中平行于同一直线的两直线平行B．空间中平行于同一平面的两直线平行C．空间中平行于同一直线的两平面平行D．空间中平行于同一平面的两平面平行[解析]　利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．[答案]　D3．如图所示，由若干个点组成形如三角形

4、的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝___________________________________________________，an＝________(n>1，n∈N＋)．[解析]　依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得an＝3n－3(n>1，n∈N＋)．[答案]　15　3n－3数、式中的归纳推理【例1】　(1)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2019(x)的表达式为___

5、_____．(2)观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为________．(3)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则f3(x)的表达式为__________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表达式为________．[思路探究]　结合数或式子的结构特征，提炼结论．[解析]　(1)由题意f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝＝，f3(x)＝f(f2(x))＝＝，…，fn(x)＝f(fn－1(x))＝…＝，

6、故f2019(x)＝.(2)从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．(3)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，f5(x)＝f4(f4(x))

7、＝＝，根据前几项可以猜想fn(x)＝.[答案]　(1)f2019(x)＝　(2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(3)f3(x)＝　fn(x)＝进行数、式中的归纳推理的一般规律1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出