2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理讲义新人教A版选修2.doc

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1、2.1.1　合情推理1．归纳推理(1)概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(3)一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些相同性质；第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．2．类比推理(1)概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(

2、2)特征：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的相似性或一致性；第二步，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．3．合情推理(1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程→→→归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比

3、推理的结论都可真或可假．-8-1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．(　　)(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.(　　)(3)归纳推理是由个别到一般的推理．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√2．做一做(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则可归纳猜想{an}的通项公式为__________________．(2)数列5,9,17,33，x，…中的x等于________．(3)等差数

4、列{an}中有2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是__________．答案　(1)an＝(n∈N*)　(2)65　(3)b＝bn－1·bn＋1(n≥2且n∈N*)探究1　　数列中的归纳推理例1　已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解]　当n＝1时，a1＝1，当n＝2时，a2＝＝，当n＝3时，a3＝＝，当n＝4时，a4＝＝，…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归

5、纳出数列{an}的通项公式是an＝.[解法探究]　此题有没有其他解法呢？[解]　因为an＋1＝，即＝＋1，-8-所以－＝1，又a1＝1，所以数列是以＝1为首项，公差为1的等差数列．所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以数列{an}的通项公式是an＝.拓展提升在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n项和公式，归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能．【跟踪训练1】　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，可归纳猜想出Sn的表达式为________．答案　解析　因

6、为a1＝1，S2＝a1＋a2＝4a2，所以a2＝，所以S2＝×4＝，同理，可得S3＝，S4＝，归纳可得，Sn＝.探究2　　几何中的归纳推理例2　定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中(1)，(2)，(3)，(4)，那么图中的(a)，(b)所对应的运算结果可能是(　　)　A．B*D，A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D[解析]　从运算图形中，归纳出“*”表示什么运算，A，B，C，D-8-分别表示什么图形，即可研究(a)，(b)所对应的运算结果．依题意，运算“*”

7、表示图形叠加，由4个运算图形归纳得出：A是一条竖直线段，B是一个正方形，C是一条水平线段，D是一个圆．所以(a)中的图形应为B*D，(b)中的图形应为A*C.故选B.[答案]　B拓展提升归纳推理在几何中应用的关键在几何中随点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，寻找递推关系是解决该类问题的关键．【跟踪训练2】　设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝______

8、__；当n>4时，f(n)＝________(用含n的数学表达式表示)．答案　5　(n－2)(n＋1)解析　由图可知，f(4)＝5，当n>4时，可得递推式f(n)－f(n－1)＝n－1.由f(n)－f(n－1)＝n－1，得f(n－1)－f(n－2)＝n－2，…，f(4)－f(3)＝3，叠加可得，f(n)－f(3)＝(n＋2)(n－3)．又f(3)＝2，所以f(n)＝(n＋2)(n－3)＋2，化简、整理，得f(n)＝(n－2)(n＋1)．探究3　　数列中的类比推理例3　设等差数列{a