2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教B版选修1_2

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1、2.2.2　反证法学习目标核心素养1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)通过反证法证明数学问题的学习，提升学生的逻辑推理、数学抽象素养.一、反证法一般地，由证明p⇒q转向证明¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．二、反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾主要是指：(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

2、(1)反证法属于间接证明问题的方法．(　　)(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．(　　)(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾．(　　)[解析]　(1)正确．反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法．(2)错误．反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理．(3)错误．反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是(　　)A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设

3、三个内角至多有两个大于60°[解析]　根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.[答案]　B3．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________．[解析]　“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．[答案]　x≠－1且x≠1用反证法证明否定性命题【例1】　等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[思路探究]　第(1)问应用an＝a1＋(n－1)

4、d和Sn＝na1＋n(n－1)d两式求解．第(2)问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明．[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知得∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴∴＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，这与p≠r矛盾．所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．当结论中含有“不

5、”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．3．常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在1．已知方程f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根．[证明]　假设x0是方程f(x)＝0的负数根，则x0<0，x0≠－1且ax0＋＝0，所以ax0＝

6、－.又当x0<0时，0

7、多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．2．用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q2．若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与至少有一个小于2.[证明]　假设与都不小于2，即≥2，≥2.∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y，两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)．∴x＋y≤2

8、，这与已知中x＋y>2矛盾．∴假设不成